Determine (a) o rotacional e (b) o divergente do campo vetorial.
\mathbf{F}(x, y, z)=x y e^{z} \mathbf{i}+\mathrm{yz} e^{x} \mathbf{k}

Passo 1

O enunciado pede (a) o rotacional \nabla\times\mathbf{F} e (b) o divergente \nabla\cdot\mathbf{F} do campo
\mathbf{F}(x,y,z)=x\,y\,e^{z}\,\mathbf{i}+0\;\mathbf{j}+y\,z\,e^{x}\,\mathbf{k}.
O assunto é cálculo vetorial: usamos o operador nabla e derivadas parciais de cada componente.

Passo 2

Para o rotacional, escrevemos
\nabla\times\mathbf{F} =\begin{vmatrix} \mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\\ \dfrac{\partial}{\partial x}&\dfrac{\partial}{\partial y}&\dfrac{\partial}{\partial z}\\\ x\,y\,e^{z}&0&y\,z\,e^{x} \end{vmatrix}.

Passo 3

Calculando os componentes:
(\nabla\times\mathbf{F})_{x} =\frac{\partial}{\partial y}(y\,z\,e^{x})-\frac{\partial}{\partial z}(0) =z\,e^{x},
(\nabla\times\mathbf{F})_{y} =\frac{\partial}{\partial z}(x\,y\,e^{z})-\frac{\partial}{\partial x}(y\,z\,e^{x}) =x\,y\,e^{z}-y\,z\,e^{x},
(\nabla\times\mathbf{F})_{z} =\frac{\partial}{\partial x}(0)-\frac{\partial}{\partial y}(x\,y\,e^{z}) =-x\,e^{z}.
Logo,
\nabla\times\mathbf{F} = z\,e^{x}\,\mathbf{i}+\bigl(x\,y\,e^{z}-y\,z\,e^{x}\bigr)\mathbf{j}-x\,e^{z}\,\mathbf{k}.

Passo 4

Para o divergente, somamos as derivadas parciais de cada componente:
\nabla\cdot\mathbf{F} =\frac{\partial}{\partial x}(x\,y\,e^{z}) +\frac{\partial}{\partial y}(0) +\frac{\partial}{\partial z}(y\,z\,e^{x}) =y\,e^{z}+y\,e^{x}.

Resposta

(a) \displaystyle \nabla\times\mathbf{F} = z\,e^{x}\,\mathbf{i}+\bigl(x\,y\,e^{z}-y\,z\,e^{x}\bigr)\mathbf{j}-x\,e^{z}\,\mathbf{k}.
(b) \displaystyle \nabla\cdot\mathbf{F} = y\,e^{z}+y\,e^{x}.

Exercícios relacionados