É dada a tabela de valores de uma função f(x, y) definida em R=[0,4] \times[2,4].
x 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0
0 -3 -5 -6 -4 -1
1 -1 -2 -3 -1 1
2 1 0 -1 1 4
3 2 2 1 3 -7
4 3 4 2 5 9
Estime a integral dupla com m=n=4, escolhendo como pontos de amostragem os pontos mais próximos da origem.

Passo 1

O enunciado dá uma tabela de valores de f(x,y) em
R = [0,4]\times[2,4]
e pede a estimativa de
\iint_{R} f(x,y)\,dA
usando m=n=4 e escolhendo, em cada sub-retângulo, o ponto de amostragem mais próximo da origem. O método é a soma de Riemann bidimensional com pontos canto inferior-esquerdo.

Passo 2

Dividimos o intervalo em 4 partes iguais em x e 4 partes iguais em y: \Delta x = (4-0)/4 = 1, com subintervalos [0,1],[1,2],[2,3],[3,4]; \Delta y = (4-2)/4 = 0.5, com subintervalos [2,2.5],[2.5,3],[3,3.5],[3.5,4].
Em cada sub-retângulo [x_{i-1},x_i]\times[y_{j-1},y_j] escolhemos o ponto (x_{i-1},y_{j-1}).

Passo 3

A área de cada sub-retângulo é
\Delta A = \Delta x \,\Delta y = 1 \times 0.5 = 0.5.

Passo 4

Obtemos f(x_{i-1},y_{j-1}) na tabela para x_{i-1}=0,1,2,3 e y_{j-1}=2,2.5,3,3.5:
  • Para x=0:
    f(0,2)=-3,\;f(0,2.5)=-5,\;f(0,3)=-6,\;f(0,3.5)=-4 ⇒ soma = -18.
  • Para x=1:
    f(1,2)=-1,\;f(1,2.5)=-2,\;f(1,3)=-3,\;f(1,3.5)=-1 ⇒ soma = -7.
  • Para x=2:
    f(2,2)=1,\;f(2,2.5)=0,\;f(2,3)=-1,\;f(2,3.5)=1 ⇒ soma = 1.
  • Para x=3:
    f(3,2)=2,\;f(3,2.5)=2,\;f(3,3)=1,\;f(3,3.5)=3 ⇒ soma = 8.
    Total dos 16 valores:
S = -18 + (-7) + 1 + 8 = -16.

Passo 5

A estimativa da integral é
\sum f(x_{i-1},y_{j-1})\,\Delta A = S \,\Delta A = (-16)\times 0.5 = -8.

Resposta

A estimativa da integral dupla é -8.

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