É dada a tabela de valores de uma função f(x, y) definida em R=[0,4] \times[2,4].
x 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0
0 -3 -5 -6 -4 -1
1 -1 -2 -3 -1 1
2 1 0 -1 1 4
3 2 2 1 3 -7
4 3 4 2 5 9
Estime \iint_{R} f(x, y) d A utilizando a Regra do Ponto Médio \operatorname{com} m=n=2.

Passo 1

O enunciado dá uma tabela de valores de f(x,y) em
R = [0,4]\times[2,4]
e pede a estimativa de
\iint_{R} f(x,y)\,dA
pela Regra do Ponto Médio com m=n=2. Vamos particionar R em 2 subintervalos em x e 2 em y, obter as áreas de cada subretângulo e avaliá-los em seus pontos médios.

Passo 2

Como
\Delta x = \frac{4-0}{2}=2, \quad \Delta y = \frac{4-2}{2}=1,
os quatro subretângulos são
  1. R_{11}:[0,2]\times[2,3],
  2. R_{12}:[0,2]\times[3,4],
  3. R_{21}:[2,4]\times[2,3],
  4. R_{22}:[2,4]\times[3,4].
    Os pontos médios (x_i^*,y_j^*) são:
(1,2{,}5),\;(1,3{,}5),\;(3,2{,}5),\;(3,3{,}5).

Passo 3

Lendo na tabela:
f(1,2{,}5) = -2, \quad f(1,3{,}5) = -1, \quad f(3,2{,}5) = 2, \quad f(3,3{,}5) = 3.

Passo 4

A Regra do Ponto Médio diz
\iint_{R} f\,dA \approx \sum_{i=1}^{2}\sum_{j=1}^{2} f(x_i^*,y_j^*)\,\Delta A = \bigl(-2 + (-1) + 2 + 3\bigr)\cdot(\Delta x\,\Delta y) = 2\cdot(2\cdot1) =4.

Resposta

A estimativa pelo ponto médio com m=n=2 é 4.

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