Considere a equação abaixo:
Podemos afirmar que essa equação expressa o lugar geométrico de uma
(A) elipse, com focos em
e
.
(B) hipérbole, com vértices em
e
.
(C) elipse, com focos em
e
.
(D) hipérbole, com vértices em
e
.
(E) circunferência de raio 1 .
(A) elipse, com focos em
(B) hipérbole, com vértices em
(C) elipse, com focos em
(D) hipérbole, com vértices em
(E) circunferência de raio 1 .
Passo 1
O enunciado dá a seguinte equação:
O que se pede é identificar qual das alternativas (A), (B), (C), (D) ou (E) está correta, sendo as alternativas descritas por tipos de cônicas e posições de focos ou vértices:
- (A) elipse, com focos em
e ; - (B) hipérbole, com vértices em
e ; - (C) elipse, com focos em
e ; - (D) hipérbole, com vértices em
e ; - (E) circunferência de raio
.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A equação está na forma
. - Os denominadores são
sob e sob .
Passo 2
Entender o formato padrão das cônicas e sinais:
- Uma elipse com centro na origem tem a forma geral
onde
e
são positivos. Se
a elipse tem eixo maior na direção
; se
o eixo maior é na direção
.
- Uma hipérbole tem sinais opostos (por exemplo
ou o contrário). - Uma circunferência centrada na origem tem a forma
ou, em termos de frações, denominadores iguais (por exemplo
).
Da equação dada os sinais são positivos e somam para
, portanto já é natural considerar que pode ser uma elipse (não é hipérbole porque falta sinal negativo e não é circunferência porque os denominadores não são iguais).
Passo 3
Colocar a equação na forma padrão e identificar semieixos:
A equação já está em forma padrão de elipse:
A equação já está em forma padrão de elipse:
Comparando com
, temos dois números positivos
e
. Para identificar qual é o semi-eixo maior, note que o semi-eixo correspondente ao denominador maior é o maior semieixo (porque, por exemplo, se
varia até
, então
pode alcançar
, maior do que
máximo).
Definimos:
Portanto
Como
está sob
, isso significa que o eixo maior é vertical (direção
) e o eixo menor é horizontal (direção
).
Passo 4
Fórmula dos focos para elipse com eixo maior vertical:
Para uma elipse centrada na origem com eixo maior vertical (forma com
), os focos estão no eixo
e têm coordenadas
Para uma elipse centrada na origem com eixo maior vertical (forma
onde
é dado por
Essa fórmula vem da geometria da elipse: a distância focal
satisfaz a relação entre os semieixos para manter a definição geométrica da elipse (soma das distâncias a dois pontos fixos constante).
Passo 5
Calcular
para a nossa elipse:
Usando e
,
Usando
Logo
Portanto os focos são
Passo 6
Verificação das alternativas:
- A alternativa que descreve uma elipse com focos em
e coincide exatamente com o que acabamos de calcular. - As alternativas que mencionam hipérbole estão incorretas porque a equação não tem sinal negativo entre os termos.
- A alternativa da circunferência está incorreta porque os denominadores não são iguais e a circunferência teria a forma
.
Resposta
(C)