Considere a equação abaixo:
\frac{x^{2}}{27}+\frac{y^{2}}{36}=1 .
Podemos afirmar que essa equação expressa o lugar geométrico de uma
(A) elipse, com focos em (-3,0) e (3,0).
(B) hipérbole, com vértices em (-3,0) e (3,0).
(C) elipse, com focos em (0,-3) e (0,3).
(D) hipérbole, com vértices em (0,-3) e (0,3).
(E) circunferência de raio 1 .

Passo 1

O enunciado dá a seguinte equação:
\frac{x^{2}}{27}+\frac{y^{2}}{36}=1.
O que se pede é identificar qual das alternativas (A), (B), (C), (D) ou (E) está correta, sendo as alternativas descritas por tipos de cônicas e posições de focos ou vértices:
  • (A) elipse, com focos em (-3,0) e (3,0);
  • (B) hipérbole, com vértices em (-3,0) e (3,0);
  • (C) elipse, com focos em (0,-3) e (0,3);
  • (D) hipérbole, com vértices em (0,-3) e (0,3);
  • (E) circunferência de raio 1.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A equação está na forma \dfrac{x^{2}}{27}+\dfrac{y^{2}}{36}=1.
  • Os denominadores são 27 sob x^{2} e 36 sob y^{2}.

Passo 2

Entender o formato padrão das cônicas e sinais:
  • Uma elipse com centro na origem tem a forma geral
\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1,
onde a^{2} e b^{2} são positivos. Se a^{2}>b^{2} a elipse tem eixo maior na direção x; se b^{2}>a^{2} o eixo maior é na direção y.
  • Uma hipérbole tem sinais opostos (por exemplo \dfrac{x^{2}}{a^{2}}-\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1 ou o contrário).
  • Uma circunferência centrada na origem tem a forma
x^{2}+y^{2}=R^{2},
ou, em termos de frações, denominadores iguais (por exemplo \dfrac{x^{2}}{R^{2}}+\dfrac{y^{2}}{R^{2}}=1).
Da equação dada os sinais são positivos e somam para 1, portanto já é natural considerar que pode ser uma elipse (não é hipérbole porque falta sinal negativo e não é circunferência porque os denominadores não são iguais).

Passo 3

Colocar a equação na forma padrão e identificar semieixos:
A equação já está em forma padrão de elipse:
\frac{x^{2}}{27}+\frac{y^{2}}{36}=1.
Comparando com \dfrac{x^{2}}{a_x^{2}}+\dfrac{y^{2}}{a_y^{2}}=1, temos dois números positivos 27 e 36. Para identificar qual é o semi-eixo maior, note que o semi-eixo correspondente ao denominador maior é o maior semieixo (porque, por exemplo, se y^{2}/36 varia até 1, então |y| pode alcançar \sqrt{36}=6, maior do que |x| máximo).
Definimos:
a^{2}=\max(27,36)=36,\qquad b^{2}=\min(27,36)=27.
Portanto
a=\sqrt{36}=6,\qquad b=\sqrt{27}=3\sqrt{3}.
Como a^{2}=36 está sob y^{2}, isso significa que o eixo maior é vertical (direção y) e o eixo menor é horizontal (direção x).

Passo 4

Fórmula dos focos para elipse com eixo maior vertical:
Para uma elipse centrada na origem com eixo maior vertical (forma \dfrac{x^{2}}{b^{2}}+\dfrac{y^{2}}{a^{2}}=1 com a^{2}>b^{2}), os focos estão no eixo y e têm coordenadas
(0,\pm c),
onde c é dado por
c^{2}=a^{2}-b^{2}.
Essa fórmula vem da geometria da elipse: a distância focal c satisfaz a relação entre os semieixos para manter a definição geométrica da elipse (soma das distâncias a dois pontos fixos constante).

Passo 5

Calcular c para a nossa elipse:
Usando a^{2}=36 e b^{2}=27,
c^{2}=a^{2}-b^{2}=36-27=9.
Logo
c=\sqrt{9}=3.
Portanto os focos são
(0,-3)\quad\text{e}\quad(0,3).

Passo 6

Verificação das alternativas:
  • A alternativa que descreve uma elipse com focos em (0,-3) e (0,3) coincide exatamente com o que acabamos de calcular.
  • As alternativas que mencionam hipérbole estão incorretas porque a equação não tem sinal negativo entre os termos.
  • A alternativa da circunferência está incorreta porque os denominadores não são iguais e a circunferência teria a forma x^{2}+y^{2}=R^{2}.

Resposta

(C)

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