Seja \left(b_{n}\right)_{n \in N} uma sequência finita com 9 elementos, tal que b_{1}=1 e b_{9}=2, com interpolação aritmética de sete termos. Seja \left(c_{n}\right)_{n \in N} uma sequência finita com 6 elementos, tal que c_{1}=2 e c_{6}=64, com interpolação geométrica de quatro termos.
Defina \left(a_{n}\right)_{n \in N} a sequência finita tal que a_{i}=b_{i}, \forall i=1, \cdots, 9 e a_{j+8}=c_{j}, \forall j=2, \cdots, 6.
Qual é a soma, S_{n}, dos n termos de \left(a_{n}\right)_{n \in N} ?
(A) 135,5
(B) 136,5
(C) 137,5
(D) 138,5
(E) 139,5

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações e pede a soma dos termos da sequência (a_n):
  • A sequência finita (b_n) tem 9 elementos, com b_1=1 e b_9=2. Entre b_1 e b_9 há interpolação aritmética de sete termos (ou seja, todos os termos entre b_1 e b_9 formam uma progressão aritmética).
  • A sequência finita (c_n) tem 6 elementos, com c_1=2 e c_6=64. Entre c_1 e c_6 há interpolação geométrica de quatro termos (ou seja, todos os termos entre c_1 e c_6 formam uma progressão geométrica).
  • A sequência (a_n) é definida por
    • a_i=b_i para i=1,\ldots,9;
    • a_{j+8}=c_j para j=2,\ldots,6.
O que se pede: calcular a soma S_n dos n termos da sequência (a_n) (isto é, a soma de todos os termos de a).

Passo 2

Trabalhando com (b_n) (progressão aritmética de 9 termos).
  • Em uma progressão aritmética (PA) de N termos, se conhecemos o primeiro termo a_1 e o último a_N, a razão d é dada por
d=\frac{a_N-a_1}{N-1}.
Aqui a_1=b_1=1, a_N=b_9=2 e N=9. Então
d=\frac{2-1}{9-1}=\frac{1}{8}.
  • A expressão geral do termo b_k é
b_k = b_1+(k-1)d = 1+(k-1)\cdot\frac{1}{8}.

Passo 3

Soma dos termos da PA (b_n).
  • Fórmula da soma de uma PA com N termos, primeiro termo a_1 e último termo a_N:
S_{\text{PA}} = N\cdot\frac{a_1+a_N}{2}.
  • Aplicando a (b_n) com N=9, b_1=1, b_9=2:
S_b = 9\cdot\frac{1+2}{2} = 9\cdot\frac{3}{2}=9\cdot1,5=13,5.

Passo 4

Trabalhando com (c_n) (progressão geométrica de 6 termos).
  • Em uma progressão geométrica (PG) de N termos, se conhecemos o primeiro termo a_1 e o último a_N, a razão r satisfaz
a_N = a_1\cdot r^{\,N-1}.
Aqui a_1=c_1=2, a_N=c_6=64 e N=6. Logo
64 = 2\cdot r^{5}\quad\Rightarrow\quad r^{5}=\frac{64}{2}=32.
  • Notando que 32=2^{5}, obtemos r=2.
  • Assim os termos são c_1=2,\;c_2=4,\;c_3=8,\;c_4=16,\;c_5=32,\;c_6=64.

Passo 5

Soma dos termos da PG (c_n).
  • Fórmula da soma de uma PG com N termos, primeiro termo a_1 e razão r\neq1:
S_{\text{PG}} = a_1\cdot\frac{r^{N}-1}{r-1}.
  • Aplicando a (c_n) com a_1=2, r=2, N=6:
S_c = 2\cdot\frac{2^{6}-1}{2-1} = 2\cdot(64-1)=2\cdot63=126.

Passo 6

Construindo (a_n) e calculando sua soma total.
  • Pela definição, a_1,\ldots,a_9 são exatamente b_1,\ldots,b_9.
  • Para j=2,\ldots,6 temos a_{j+8}=c_j, ou seja, a_{10}=c_2,\;a_{11}=c_3,\;\ldots,\;a_{14}=c_6.
  • Observe que c_1=2 coincide com b_9=2, por isso não há duplicação: a parte c_1 já está presente como a_9.
  • Portanto a sequência (a_n) tem 14 termos no total e sua soma S_a é a soma de todos os b mais os termos c_2 a c_6. Em outras palavras:
S_a = S_b + (S_c - c_1).
  • Substituindo os valores já calculados:
S_a = 13,5 + (126 - 2) = 13,5 + 124 = 137,5.

Resposta

(C) 137,5

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