Seja
uma sequência finita com 9 elementos, tal que
, com interpolação aritmética de sete termos. Seja
uma sequência finita com 6 elementos, tal que
, com interpolação geométrica de quatro termos.
Defina
a sequência finita tal que
.
Qual é a soma,
, dos
termos de
?
(A) 135,5
(B) 136,5
(C) 137,5
(D) 138,5
(E) 139,5
(A) 135,5
(B) 136,5
(C) 137,5
(D) 138,5
(E) 139,5
Passo 1
O enunciado nos dá as seguintes informações e pede a soma dos termos da sequência
:
- A sequência finita
tem elementos, com e . Entre e há interpolação aritmética de sete termos (ou seja, todos os termos entre e formam uma progressão aritmética). - A sequência finita
tem elementos, com e . Entre e há interpolação geométrica de quatro termos (ou seja, todos os termos entre e formam uma progressão geométrica). - A sequência
é definida por -
para ; -
para .
-
O que se pede: calcular a soma
dos
termos da sequência
(isto é, a soma de todos os termos de
).
Passo 2
Trabalhando com
(progressão aritmética de
termos).
- Em uma progressão aritmética (PA) de
termos, se conhecemos o primeiro termo e o último , a razão é dada por
Aqui
,
e
. Então
- A expressão geral do termo
é
Passo 3
Soma dos termos da PA
.
- Fórmula da soma de uma PA com
termos, primeiro termo e último termo :
- Aplicando a
com , , :
Passo 4
Trabalhando com
(progressão geométrica de
termos).
- Em uma progressão geométrica (PG) de
termos, se conhecemos o primeiro termo e o último , a razão satisfaz
Aqui
,
e
. Logo
- Notando que
, obtemos . - Assim os termos são
.
Passo 5
Soma dos termos da PG
.
- Fórmula da soma de uma PG com
termos, primeiro termo e razão :
- Aplicando a
com , , :
Passo 6
Construindo
e calculando sua soma total.
- Pela definição,
são exatamente . - Para
temos , ou seja, . - Observe que
coincide com , por isso não há duplicação: a parte já está presente como . - Portanto a sequência
tem termos no total e sua soma é a soma de todos os mais os termos a . Em outras palavras:
- Substituindo os valores já calculados:
Resposta
(C)