Dada uma matriz quadrada de ordem três M. Define-se a matriz de cofatores de M e denota-se por M’, a matriz que se obtém de M , substituindo cada elemento de M por seu cofator. Além disso, denota-se por \bar{M} a matriz adjunta de M , que é definida como sendo a transposta da matriz de cofatores de M , isto é, \bar{M}=\left(M^{\prime}\right)^{\mathrm{t}}.
Seja \mathrm{M}=\left[\begin{array}{lll}3 & 1 & 0 \\\\ 1 & 0 & 2 \\\\ 2 & 1 & 3\end{array}\right], e defina a matriz \mathrm{B}=\mathrm{M} . \bar{M}.
Qual é o valor da soma dos elementos da diagonal principal da matriz B?
(A) -15
(B) -5
(C) 3
(D) 5
(E) 15

Passo 1

O enunciado dá uma matriz quadrada de ordem três M e define a matriz adjunta \bar{M} como a transposta da matriz de cofatores de M. Define-se B=M\cdot\bar{M}. A matriz fornecida é
M=\begin{pmatrix}3 & 1 & 0\\[4pt] 1 & 0 & 2\\[4pt] 2 & 1 & 3\end{pmatrix}.
A pergunta é: qual é o valor da soma dos elementos da diagonal principal da matriz B (ou seja, a traça de B)? As alternativas são:
(A) -15 \qquad (B) -5 \qquad (C) 3 \qquad (D) 5 \qquad (E) 15.]

Passo 2

Teoria útil (explicada passo a passo, sem pular etapas):
  • Definição de cofator: para uma matriz M=(m_{ij})\), o cofator \(C_{ij}\) é \[C_{ij}=(-1)^{i+j}\det(M_{ij}),
onde M_{ij} é a matriz obtida de M removendo a linha i e a coluna j. Ou seja, calcula-se o menor de ordem 2 correspondente e multiplica-se pelo sinal (-1)^{i+j}.
  • Matriz de cofatores M' tem entrada M'_{ij}=C_{ij}. A adjunta (adjugate) \bar{M} é a transposta dessa matriz de cofatores:
\bar{M}=(M')^{\mathrm{t}}.
  • Identidade importante: para qualquer matriz quadrada M de ordem n vale
M\cdot\bar{M}=\bar{M}\cdot M=\det(M)\,I_n,
onde I_n é a matriz identidade de ordem n. Vou explicar por que isso vale, de forma direta e intuitiva:
  • Observe a entrada (i,j) do produto M\cdot\bar{M}. Essa entrada é
(M\cdot\bar{M})_{ij}=\sum_{k=1}^{n} m_{ik} \bar{M}_{kj}.
Mas \bar{M}_{kj}=C_{jk} (porque \bar{M} é a transposta da matriz de cofatores), logo
(M\cdot\bar{M})_{ij}=\sum_{k=1}^{n} m_{ik} C_{jk}.
  • Esse somatório \sum_{k} m_{ik} C_{jk} é exatamente a expansão por cofatores da determinante da matriz obtida a partir de M substituindo a linha j pela linha i. Se i=j, essa expansão é a expansão usual do determinante de M, logo dá \det(M). Se i\neq j, a matriz resultante tem duas linhas iguais (linhas i e j), e determinante de uma matriz com duas linhas iguais é 0. Portanto
(M\cdot\bar{M})_{ij}= \begin{cases} \det(M), & \text{se } i=j,\\[4pt] 0, & \text{se } i\neq j. \end{cases}
  • Isso significa exatamente que (M\cdot\bar{M}=\det(M),I_n].
  • Consequência imediata para a traça: como B=M\cdot\bar{M}=\det(M)\,I_3, os elementos da diagonal de B são todos iguais a \det(M). Assim a soma dos elementos da diagonal (a traça) é
\operatorname{tr}(B)=3\det(M).]

Passo 3

Então a tarefa reduz-se a calcular \det(M) para a matriz dada e depois multiplicar por 3.

Passo 4

Calcular \det(M) por expansão de Laplace (expansão por cofatores) ao longo da primeira linha (escolha prática porque há um zero na primeira linha, simplifica contas).
A primeira linha de M é (3,\;1,\;0). A expansão é
\det(M)=3\cdot C_{11}+1\cdot C_{12}+0\cdot C_{13}.
Precisamos dos cofatores C_{11} e C_{12}.
  • Para C_{11}: remover linha 1 e coluna 1 dá a submatriz
M_{11}=\begin{pmatrix}0 & 2\\[4pt] 1 & 3\end{pmatrix}.
O determinante desse menor é \det(M_{11})=0\cdot3-2\cdot1= -2. O sinal é (-1)^{1+1}=+1. Assim
C_{11}=+1\cdot(-2)=-2.
  • Para C_{12}: remover linha 1 e coluna 2
M_{12}=\begin{pmatrix}1 & 2\\[4pt] 2 & 3\end{pmatrix}.
O determinante desse menor é \det(M_{12})=1\cdot3-2\cdot2=3-4=-1. O sinal é (-1)^{1+2}= -1. Portanto
C_{12}= -1\cdot(-1)=+1.
  • O terceiro termo na expansão contém multiplicador 0, então não contribui.
Agora substituindo:
\det(M)=3\cdot(-2)+1\cdot(1)+0\cdot(\cdots) = -6+1 = -5.
Portanto \det(M)=-5.]

Passo 5

Como explicado no Passo 2, B=M\cdot\bar{M}=\det(M)\,I_3. Logo
\operatorname{tr}(B)=3\det(M)=3\cdot(-5)=-15.

Passo 6

Interpretação final: a soma dos elementos da diagonal principal de B é -15. Isso corresponde à alternativa (A).

Resposta

(A) -15

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