Considere a equação de Bessel de ordem Zero
t y^prime prime+y^prime+t y=0
Encontre a solução da EDO acima.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente resolver uma equação diferencial ordinária de Bessel de ordem zero, que é assim:
t y'' + y' + t y = 0
Isso faz parte do conteúdo de equações diferenciais e funções especiais, especificamente as funções de Bessel. Para resolver, vamos precisar entender como essa equação se encaixa na forma padrão das equações de Bessel e usar as soluções conhecidas pra ela.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar pra forma padrão da equação de Bessel de ordem t^2 y'' + t y' + (t^2 - n^2) y = 0 :
t y'' + y' + t y = 0
Comparando com a equação que a gente tem:
y'' + 1t y' + y = 0
Parece diferente, né? Mas se dividirmos ambos os lados por t^2 y'' + t y' + t^2 y = 0 Rightarrow y'' + 1t y' + y = 0 , a equação fica:
Agora, vamos comparar com a forma padrão. Se a gente notar, a equação se parece com a forma padrão das equações de Bessel quando :
Então, confirmamos que estamos lidando com uma equação de Bessel de ordem zero.

Passo 3

Sabendo que a equação está na forma da equação de Bessel de ordem zero ( y(t) = C1 J0(t) + C2 Y0(t) ), podemos usar as soluções conhecidas pra essa equação. As soluções gerais são combinações das funções de Bessel de primeira e segunda espécie de ordem zero. Ou seja:
Aqui:
  • é a função de Bessel da primeira espécie de ordem zero.
  • é a função de Bessel da segunda espécie de ordem zero.
  • e são constantes que a gente determina com condições iniciais ou de contorno, se tiverem sido dadas.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y(t) = C1 J0(t) + C2 Y0(t)

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