Considere a equação de Bessel de ordem Zero
Encontre a solução da EDO acima.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente resolver uma equação diferencial ordinária de Bessel de ordem zero, que é assim:
Isso faz parte do conteúdo de equações diferenciais e funções especiais, especificamente as funções de Bessel. Para resolver, vamos precisar entender como essa equação se encaixa na forma padrão das equações de Bessel e usar as soluções conhecidas pra ela.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar pra forma padrão da equação de Bessel de ordem
:
Comparando com a equação que a gente tem:
Parece diferente, né? Mas se dividirmos ambos os lados por
, a equação fica:
Agora, vamos comparar com a forma padrão. Se a gente notar, a equação se parece com a forma padrão das equações de Bessel quando
:
Então, confirmamos que estamos lidando com uma equação de Bessel de ordem zero.
Passo 3
Sabendo que a equação está na forma da equação de Bessel de ordem zero (
), podemos usar as soluções conhecidas pra essa equação. As soluções gerais são combinações das funções de Bessel de primeira e segunda espécie de ordem zero. Ou seja:
Aqui:
-
é a função de Bessel da primeira espécie de ordem zero. -
é a função de Bessel da segunda espécie de ordem zero. -
e são constantes que a gente determina com condições iniciais ou de contorno, se tiverem sido dadas.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é: