Considere a equação de Bessel:
(a) Classifique o ponto
e encontre a primeira solução usando o método de Frobenius.
(b) Analise o tipo da segunda solução nos seguintes casos:
i.
ii.
iii.
(b) Analise o tipo da segunda solução nos seguintes casos:
i.
ii.
iii.
Passo 1
O enunciado dá a equação
e pede duas coisas:
- (a) classificar o ponto
(ou seja: ponto ordinário, singular regular ou singular essencial) e encontrar a primeira solução obtida pelo método de Frobenius; - (b) para a segunda solução, descrever o seu tipo nos três casos pedidos:
i.,
ii.,
iii..
Informações relevantes do enunciado: a equação é a equação de Bessel padrão do tipo
. Não há outros dados numéricos;
é um parâmetro real (pode também ser complexo em teoria, mas aqui usamos os casos indicados).
Passo 2
Classificação do ponto
.
Coloca-se a equação na forma padrão
. Dividindo por
obtemos
Aqui
e
. Para classificar o ponto
verificamos
e
:
Como
e
são analíticos em
, o ponto
é um ponto singular regular (ou seja, singular mas regular). Isso justifica o uso do método de Frobenius.
Passo 3
Aplicando o método de Frobenius: procura-se uma solução do tipo
onde
é o expoente indicial a determinar. Calculam-se as derivadas (cada termo é simples de derivar):
Passo 4
Substitui-se na equação original. Multiplicando as derivadas pelos fatores apropriados:
Somando os termos correspondentes:
Para igualar potências, reindexa-se a segunda soma: na segunda soma ponha
, obtendo
Agora separam-se os primeiros termos
(que não recebem contribuição da segunda soma) e os demais
.
Passo 5
Obtem-se a equação indicial (coeficiente de
, i.e.
):
Como
por hipótese, o indicial é
Esses são os dois expoentes de Frobenius:
e
.
Passo 6
Recorrência para os coeficientes para
: do coeficiente de
obtemos
ou seja
Isto mostra que os coeficientes com índices de mesma paridade se relacionam: a sequência dos
é independente da dos
. Em particular, tomando
e escolhendo
obtemos a solução em potências com os expoentes
.
Passo 7
Construção explícita da primeira solução: escolhemos o expoente maior
(é a escolha habitual para construir a solução regular em
quando
). Tomando
e tomando
(para obter a série par), a recorrência para
dá, com
em função de
,
Calculando o produto iteradamente obtém-se a fórmula fechada (usando
para escrever produtos de forma compacta):
Se escolhermos a normalização padrão
então os coeficientes ficam
Substituindo de volta na série obtemos a solução clássica conhecida como função de Bessel do primeira espécie:
Observações didáticas:
- A função
generaliza o fatorial: para inteiro , . - A série acima converge para todo
(é inteira em ) e o comportamento próximo de zero é , mostrando que esta solução é a que é regular em quando .
Passo 8
O que acontece com a segunda solução? Regra geral da teoria de Frobenius:
- Se as raízes
da equação indicial diferem por um número que não é inteiro, então há duas soluções independentes dadas por séries de Frobenius com expoentes e (nenhuma envolve logaritmo). - Se a diferença
é um inteiro (incluindo zero), então geralmente a segunda solução pode envolver um termo com . Em certos casos especiais, a segunda solução ainda pode ser uma série sem logaritmo (isso depende de cancelamentos específicos nos coeficientes).
No nosso caso
. Portanto a natureza da segunda solução depende de
ser inteiro ou não, e de particularidades quando
é inteiro ou meio-inteiro.
Passo 9
Análise dos três casos pedidos.
i) Caso
(v inteiro).
- Aqui
, as raízes diferem por um inteiro. Além disso existe a relação bem conhecida entre as funções de Bessel: para inteiro ,
Isto significa que a solução associada ao expoente
não dá uma solução nova independente; logo a segunda solução linearmente independente não pode ser apenas
. O método de Frobenius gera então uma solução que contém um termo logarítmico e que é linearmente independente de
. Essa segunda solução é a função de Neumann (ou função de Bessel do segunda espécie)
, que tem singularidade logarítmica em
. Em termos de comportamento principal,
mostrando explicitamente o termo com
.
ii) Caso
(v meio-inteiro).
- Aqui
também (diferença de raízes é inteira), mas existe um comportamento especial: para metades inteiras as funções de Bessel reduzem a expressões elementares em termos de seno e cosseno divididos por . Exemplos clássicos:
Essas duas são independentemente lineares (seno e cosseno são linearmente independentes), logo não aparece o termo logarítmico na segunda solução: a segunda solução pode ser tomada simplesmente como
(ou, mais frequentemente, as combinações que dão as funções esféricas de Bessel). Em outras palavras, embora as raízes difiram por inteiro, não ocorre o fenômeno “forçado” do logaritmo: há duas soluções de Frobenius sem logaritmo e expressíveis por funções elementares para
meio-inteiro.
iii) Caso
(diferença das raízes não é inteiro).
- Aqui a diferença
não é inteiro, então a teoria garante duas soluções de Frobenius independentes sem logaritmo, com expoentes e . Assim a segunda solução pode ser escolhida como
e
e
são linearmente independentes. Não há termo logarítmico.
Passo 10
Resumo intuitivo (para guardar na prova): o ponto
é singular regular; a primeira solução obtida por Frobenius é a série que define
. Se a diferença dos expoentes
não é inteiro, a outra solução é simplesmente
. Se
é inteiro, pode aparecer um logaritmo: para
inteiro isso de fato acontece e a segunda solução é
com termo em
; para
meio-inteiro há um caso especial e as soluções são expressíveis sem logaritmo em termos de seno/cosseno divididos por
.
Força aí — com essa estrutura de derivação pelo Frobenius e a visão das três situações, você consegue justificar rapidamente as respostas na prova.
Resposta
(a)
é um ponto singular regular. A primeira solução (solução de Frobenius associada ao expoente
) é a função de Bessel do 1ª espécie:
(b) i. Para
: as raízes da indicial diferem por inteiro e
não é independente de
(pois
), então a segunda solução independente contém um termo
; a função habitual é a função de Neumann
com singularidade logarítmica em
.
ii. Para
: apesar de
, há um caso especial sem logaritmo — as soluções reduzem a formas elementares (por exemplo
), portanto a segunda solução pode ser tomada como
(sem
).
iii. Para
: as raízes da indicial diferem por número não inteiro; existem duas soluções de Frobenius independentes sem logaritmo, que podem ser tomadas como
e
.