Considere a equação de Bessel:
x^{2} y^{\prime \prime}+x y^{\prime}+\left(x^{2}-v^{2}\right) y=0
(a) Classifique o ponto x_{0}=0 e encontre a primeira solução usando o método de Frobenius.
(b) Analise o tipo da segunda solução nos seguintes casos:
i. v \in \mathbb{Z}
ii. v \in \mathbb{Z}+\frac{1}{2}
iii. 2 v \notin \mathbb{Z}

Passo 1

O enunciado dá a equação
x^{2}y''+x y'+\bigl(x^{2}-v^{2}\bigr)y=0
e pede duas coisas:
  • (a) classificar o ponto x_{0}=0 (ou seja: ponto ordinário, singular regular ou singular essencial) e encontrar a primeira solução obtida pelo método de Frobenius;
  • (b) para a segunda solução, descrever o seu tipo nos três casos pedidos:
    i. v\in\mathbb{Z},
    ii. v\in\mathbb{Z}+\tfrac{1}{2},
    iii. 2v\notin\mathbb{Z}.
Informações relevantes do enunciado: a equação é a equação de Bessel padrão do tipo x^{2}y''+x y'+(x^{2}-v^{2})y=0. Não há outros dados numéricos; v é um parâmetro real (pode também ser complexo em teoria, mas aqui usamos os casos indicados).

Passo 2

Classificação do ponto x_{0}=0.
Coloca-se a equação na forma padrão y''+p(x)y'+q(x)y=0. Dividindo por x^{2} obtemos
y''+\frac{1}{x}y'+\Bigl(1-\frac{v^{2}}{x^{2}}\Bigr)y=0.
Aqui p(x)=\dfrac{1}{x} e q(x)=1-\dfrac{v^{2}}{x^{2}}. Para classificar o ponto 0 verificamos x p(x) e x^{2} q(x):
x p(x)=1 \quad\text{(analítico em \(x=0\))},\qquad x^{2}q(x)=x^{2}-v^{2}\quad\text{(analítico em \(x=0\))}.íí
Como x p(x) e x^{2}q(x) são analíticos em x=0, o ponto x_{0}=0 é um ponto singular regular (ou seja, singular mas regular). Isso justifica o uso do método de Frobenius.

Passo 3

Aplicando o método de Frobenius: procura-se uma solução do tipo
y(x)=\sum_{m=0}^{\infty}a_{m}x^{m+r},\qquad a_{0}\neq 0,
onde r é o expoente indicial a determinar. Calculam-se as derivadas (cada termo é simples de derivar):
y'(x)=\sum_{m=0}^{\infty}(m+r)a_{m}x^{m+r-1}, \qquad y''(x)=\sum_{m=0}^{\infty}(m+r)(m+r-1)a_{m}x^{m+r-2}.

Passo 4

Substitui-se na equação original. Multiplicando as derivadas pelos fatores apropriados:
x^{2}y''=\sum_{m=0}^{\infty}(m+r)(m+r-1)a_{m}x^{m+r},
x y'=\sum_{m=0}^{\infty}(m+r)a_{m}x^{m+r},
x^{2}y=\sum_{m=0}^{\infty}a_{m}x^{m+r+2}, \qquad -v^{2}y=-v^{2}\sum_{m=0}^{\infty}a_{m}x^{m+r}.
Somando os termos correspondentes:
\sum_{m=0}^{\infty}\bigl[(m+r)(m+r-1)+(m+r)-v^{2}\bigr]a_{m}x^{m+r} +\sum_{m=0}^{\infty}a_{m}x^{m+r+2}=0.
Para igualar potências, reindexa-se a segunda soma: na segunda soma ponha m\mapsto m-2, obtendo
\sum_{m=0}^{\infty}\bigl[(m+r)^{2}-v^{2}\bigr]a_{m}x^{m+r} +\sum_{m=2}^{\infty}a_{m-2}x^{m+r}=0.
Agora separam-se os primeiros termos m=0,1 (que não recebem contribuição da segunda soma) e os demais m\ge 2.

Passo 5

Obtem-se a equação indicial (coeficiente de x^{r}, i.e. m=0):
\bigl[r^{2}-v^{2}\bigr]a_{0}=0.
Como a_{0}\neq 0 por hipótese, o indicial é
r^{2}-v^{2}=0 \quad\Longrightarrow\quad r=\pm v.
Esses são os dois expoentes de Frobenius: r_{1}=v e r_{2}=-v.

Passo 6

Recorrência para os coeficientes para m\ge 2: do coeficiente de x^{m+r} obtemos
\bigl[(m+r)^{2}-v^{2}\bigr]a_{m}+a_{m-2}=0,
ou seja
a_{m}=-\frac{a_{m-2}}{(m+r)^{2}-v^{2}}.
Isto mostra que os coeficientes com índices de mesma paridade se relacionam: a sequência dos a_{2k} é independente da dos a_{2k+1}. Em particular, tomando a_{1}=0 e escolhendo a_{0}\neq 0 obtemos a solução em potências com os expoentes r, r+2, r+4,\dots.

Passo 7

Construção explícita da primeira solução: escolhemos o expoente maior r=v (é a escolha habitual para construir a solução regular em x=0 quando \Re(v)\ge0). Tomando r=v e tomando a_{1}=0 (para obter a série par), a recorrência para m=2k dá, com a_{2k} em função de a_{2k-2},
a_{2k}=-\frac{a_{2k-2}}{(2k+v)^{2}-v^{2}}=-\frac{a_{2k-2}}{4k(k+v)}.
Calculando o produto iteradamente obtém-se a fórmula fechada (usando \Gamma para escrever produtos de forma compacta):
a_{2k}=(-1)^{k}a_{0}\,\frac{\Gamma(v+1)}{4^{k}k!\,\Gamma(k+v+1)}.
Se escolhermos a normalização padrão
a_{0}=\frac{1}{2^{v}\Gamma(v+1)},
então os coeficientes ficam
a_{2k}=\frac{(-1)^{k}}{k!\,\Gamma(k+v+1)}\,2^{-2k-v}.
Substituindo de volta na série obtemos a solução clássica conhecida como função de Bessel do primeira espécie:
\boxed{J_{v}(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^{k}}{k!\,\Gamma(k+v+1)}\Bigl(\frac{x}{2}\Bigr)^{2k+v}.}
Observações didáticas:
  • A função \Gamma(\cdot) generaliza o fatorial: para inteiro n\ge0, \Gamma(n+1)=n!.
  • A série acima converge para todo x (é inteira em x) e o comportamento próximo de zero é J_{v}(x)\sim \dfrac{1}{\Gamma(v+1)2^{v}}x^{v}, mostrando que esta solução é a que é regular em x=0 quando \Re(v)>-1.

Passo 8

O que acontece com a segunda solução? Regra geral da teoria de Frobenius:
  • Se as raízes r_{1},r_{2} da equação indicial diferem por um número que não é inteiro, então há duas soluções independentes dadas por séries de Frobenius com expoentes r_{1} e r_{2} (nenhuma envolve logaritmo).
  • Se a diferença r_{1}-r_{2} é um inteiro (incluindo zero), então geralmente a segunda solução pode envolver um termo com \ln x. Em certos casos especiais, a segunda solução ainda pode ser uma série sem logaritmo (isso depende de cancelamentos específicos nos coeficientes).
No nosso caso r_{1}-r_{2}=v-(-v)=2v. Portanto a natureza da segunda solução depende de 2v ser inteiro ou não, e de particularidades quando v é inteiro ou meio-inteiro.

Passo 9

Análise dos três casos pedidos.
i) Caso v\in\mathbb{Z} (v inteiro).
  • Aqui 2v\in\mathbb{Z}, as raízes diferem por um inteiro. Além disso existe a relação bem conhecida entre as funções de Bessel: para inteiro n,
J_{-n}(x)=(-1)^{n}J_{n}(x).
Isto significa que a solução associada ao expoente r=-v não dá uma solução nova independente; logo a segunda solução linearmente independente não pode ser apenas J_{-v}. O método de Frobenius gera então uma solução que contém um termo logarítmico e que é linearmente independente de J_{v}. Essa segunda solução é a função de Neumann (ou função de Bessel do segunda espécie) Y_{v}(x), que tem singularidade logarítmica em x=0. Em termos de comportamento principal,
Y_{n}(x)\sim -\frac{2}{\pi}\,J_{n}(x)\ln x+\text{(série em potências de \(x\))},éê
mostrando explicitamente o termo com \ln x.
ii) Caso v\in\mathbb{Z}+\tfrac{1}{2} (v meio-inteiro).
  • Aqui 2v\in\mathbb{Z} também (diferença de raízes é inteira), mas existe um comportamento especial: para metades inteiras as funções de Bessel reduzem a expressões elementares em termos de seno e cosseno divididos por \sqrt{x}. Exemplos clássicos:
J_{1/2}(x)=\sqrt{\frac{2}{\pi x}}\sin x,\qquad J_{-1/2}(x)=\sqrt{\frac{2}{\pi x}}\cos x.
Essas duas são independentemente lineares (seno e cosseno são linearmente independentes), logo não aparece o termo logarítmico na segunda solução: a segunda solução pode ser tomada simplesmente como J_{-v}(x) (ou, mais frequentemente, as combinações que dão as funções esféricas de Bessel). Em outras palavras, embora as raízes difiram por inteiro, não ocorre o fenômeno “forçado” do logaritmo: há duas soluções de Frobenius sem logaritmo e expressíveis por funções elementares para v meio-inteiro.
iii) Caso 2v\notin\mathbb{Z} (diferença das raízes não é inteiro).
  • Aqui a diferença 2v não é inteiro, então a teoria garante duas soluções de Frobenius independentes sem logaritmo, com expoentes r=v e r=-v. Assim a segunda solução pode ser escolhida como
J_{-v}(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^{k}}{k!\,\Gamma(k-v+1)}\Bigl(\frac{x}{2}\Bigr)^{2k-v},
e J_{v} e J_{-v} são linearmente independentes. Não há termo logarítmico.

Passo 10

Resumo intuitivo (para guardar na prova): o ponto 0 é singular regular; a primeira solução obtida por Frobenius é a série que define J_{v}(x). Se a diferença dos expoentes 2v não é inteiro, a outra solução é simplesmente J_{-v}(x). Se 2v é inteiro, pode aparecer um logaritmo: para v inteiro isso de fato acontece e a segunda solução é Y_{v} com termo em \ln x; para v meio-inteiro há um caso especial e as soluções são expressíveis sem logaritmo em termos de seno/cosseno divididos por \sqrt{x}.
Força aí — com essa estrutura de derivação pelo Frobenius e a visão das três situações, você consegue justificar rapidamente as respostas na prova.

Resposta

(a) x_{0}=0 é um ponto singular regular. A primeira solução (solução de Frobenius associada ao expoente r=v) é a função de Bessel do 1ª espécie:
J_{v}(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^{k}}{k!\,\Gamma(k+v+1)}\Bigl(\frac{x}{2}\Bigr)^{2k+v}.
(b) i. Para v\in\mathbb{Z}: as raízes da indicial diferem por inteiro e J_{-v} não é independente de J_{v} (pois J_{-n}=(-1)^{n}J_{n}), então a segunda solução independente contém um termo \ln x; a função habitual é a função de Neumann Y_{v}(x) com singularidade logarítmica em x=0.
ii. Para v\in\mathbb{Z}+\tfrac{1}{2}: apesar de 2v\in\mathbb{Z}, há um caso especial sem logaritmo — as soluções reduzem a formas elementares (por exemplo J_{1/2}(x)=\sqrt{\tfrac{2}{\pi x}}\sin x,\;J_{-1/2}(x)=\sqrt{\tfrac{2}{\pi x}}\cos x), portanto a segunda solução pode ser tomada como J_{-v}(x) (sem \ln x).
iii. Para 2v\notin\mathbb{Z}: as raízes da indicial diferem por número não inteiro; existem duas soluções de Frobenius independentes sem logaritmo, que podem ser tomadas como J_{v}(x) e J_{-v}(x).

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