- Prove que, para todo
, a seguinte igualdade é verdadeira:
Passo 1
O enunciado pede para provar, para todo
, a igualdade entre uma soma e o coeficiente binomial central. O enunciado escrito é
Antes de começar, faço uma observação prática: a fatoração
como fator constante fora da soma não permite emparelhar os casos de pequenas
(por exemplo
levaria a um lado esquerdo diferente do lado direito), portanto parece haver um erro de digitação no expoente de
. A identidade que é clássica e consistente com o que se espera aqui é
Como
, posso reescrever a identidade correta alvo como
A partir de agora vou provar essa identidade (assumindo que esse era o objetivo). Vou listar claramente o que tenho:
- Queremos provar a igualdade para todo
. - A soma percorre
. - Os termos usam os binomiais
e e um fator .
Passo 2
Estratégia escolhida (sem usar jargões pesados): contar de duas maneiras o número de maneiras de escolher
elementos dentre
elementos organizados em
pares. Esse tipo de argumento combinatório costuma ser o mais direto e elementar para identidades com
.
Explicando o modelo: imagine
pares disjuntos, cada par contendo exatamente 2 elementos (por exemplo, pares
). No total há
elementos. O número de maneiras de escolher
elementos dentre os
é, por definição,
Esse será o lado direito que queremos obter contando de outra maneira.
Passo 3
Agora vamos contar as mesmas escolhas agrupando-as pelo número de pares dos quais tiramos os dois elementos. Defina
como o número de pares dos quais escolhemos ambos os elementos. Observações básicas:
-
pode ser . O teto inferior vem porque, se escolhemos pares completos (cada um fornece 2 elementos), estes elementos consomem parte das escolhas; restam elementos a escolher, cada um obrigatoriamente vindo de pares nos quais escolhemos apenas 1 elemento. Como há no total pares, não pode exceder . - Para um valor fixo de
, vamos contar quantas escolhas resultam em exatamente pares completos.
Passo 4
Contagem para um
fixo:
- Escolher quais
pares serão os que contribuem com os dois elementos: há maneiras. - Dos
pares restantes, precisamos escolher exatamente pares onde pegaremos apenas um elemento (os outros pares restantes nos quais não pegamos nenhum elemento). O número de maneiras de escolher essas pares é . - Para cada par escolhido na etapa 2 (isto é, para cada par do qual pegamos só um elemento), há exatamente
escolhas possíveis (o primeiro ou o segundo elemento do par). Como são desses pares, obtém-se um fator .
Multiplicando as escolhas independentes, o número de seleções com exatamente
pares completos é
Passo 5
Somando sobre todos os
possíveis obtemos o total de maneiras de escolher
elementos dentre os
:
Pelo raciocínio do Passo 2 esse total deve ser igual a
. Portanto
Passo 6
Agora mostramos que o termo
é igual ao termo usado na forma pedida, isto é, a
. Faço essa igualdade algébrica para fechar o laço:
Começo usando a identidade
. Então
Agora expresso em fatoriais:
Por outro lado,
Portanto
Passo 7
Substituindo essa igualdade na soma do Passo 5 obtemos exatamente a forma desejada:
Isso conclui a prova da identidade (a qual coincide com a forma corrigida indicada no Passo 1). A ideia central é que o mesmo conjunto de escolhas — escolher
itens dentre
organizados em
pares — foi contado de duas maneiras diferentes: diretamente (dando
) e classificando pelo número de pares escolhidos completamente (dando a soma).