Utilize o método de Gauss -Seidel para encontrar o vetor solução do seguinte sistema:
\left\{\begin{array}{l} 2 x_{1}+x_{2}=4 \\\ x_{1}-3 x_{2}=2 i \end{array} \quad \text { com } \varepsilon=10^{-2}, \quad \mathrm{M}=10 \text { e } \mathrm{X}_{0}=(0,0)\right.

Passo 1

O enunciado fornece o sistema linear e os parâmetros do método:
\left\{\begin{array}{l} 2 x_{1}+x_{2}=4,\\[4pt] x_{1}-3 x_{2}=2\,i, \end{array}\right.
com tolerância \varepsilon=10^{-2}, número máximo de iterações M=10 e vetor inicial X_{0}=(0,0).
O que se pede: aplicar o método de Gauss–Seidel a partir de X_{0}, iterar até que a diferença entre iterações consecutivas seja menor que \varepsilon (ou até atingir M iterações) e retornar o vetor solução aproximado obtido.
Informações relevantes dadas:
  • o termo do segundo membro contém i, a unidade imaginária (logo as incógnitas poderão ser complexas);
  • X_{0}=(0,0) é o ponto inicial;
  • critério de parada: \varepsilon=10^{-2};
  • limite de iterações: M=10.]

Passo 2

Derivar as fórmulas de iteração pelo método de Gauss–Seidel (isolando cada incógnita em sua equação e usando os valores mais recentes já calculados).
Da primeira equação isolamos x_{1}:
2x_{1}+x_{2}=4 \quad\Rightarrow\quad x_{1}=\frac{4-x_{2}}{2}.
Da segunda equação isolamos x_{2}:
x_{1}-3x_{2}=2\,i \quad\Rightarrow\quad x_{2}=\frac{x_{1}-2\,i}{3}.
Portanto as fórmulas de iteração (usando Gauss–Seidel, que usa o valor novo de x_{1} já ao calcular x_{2}) são:
\begin{aligned} x_{1}^{(k+1)} &= \frac{4 - x_{2}^{(k)}}{2},\\[6pt] x_{2}^{(k+1)} &= \frac{x_{1}^{(k+1)} - 2\,i}{3}. \end{aligned}
Breve observação didática sobre convergência: uma condição simples que garante (frequentemente) convergência de Gauss–Seidel é que a matriz do sistema seja diagonalmente dominante por linhas. Aqui a matriz é
A=\begin{pmatrix}2 & 1\\[2pt]1 & -3\end{pmatrix},
e para cada linha |a_{ii}|>|a_{ij}| (linha 1: 2>1; linha 2: 3>1), logo temos dominância diagonal e é razoável esperar convergência.]

Passo 3

Definir o critério de parada usado: vou usar a norma infinito da diferença entre iterações consecutivas (ou seja, o máximo entre os módulos das diferenças das componentes). Formalmente:
\text{parar se}\quad \max\bigl(|x_{1}^{(k+1)}-x_{1}^{(k)}|,\;|x_{2}^{(k+1)}-x_{2}^{(k)}|\bigr)<\varepsilon,
onde para números complexos |\cdot| é o módulo (por exemplo |a+ b\,i|=\sqrt{a^{2}+b^{2}}). Começamos em X^{(0)}=(0,0) e repetimos até \varepsilon=10^{-2} ou k=M.

Passo 4

Executar as iterações (vou mostrar as contas e os valores numéricos). Lembre: usar sempre o valor mais recente de x_{1} ao calcular x_{2}.
Iteração k=0 \Rightarrow X^{(0)}=(0,0).
k = 0 → k+1 = 1:
x_{1}^{(1)}=\frac{4-x_{2}^{(0)}}{2}=\frac{4-0}{2}=2.
x_{2}^{(1)}=\frac{x_{1}^{(1)}-2\,i}{3}=\frac{2-2\,i}{3}=\frac{2}{3}-\frac{2}{3}\,i\approx 0{,}6667-0{,}6667\,i.
Diferença com X^{(0)}: |x_{1}^{(1)}-0|=2, |x_{2}^{(1)}-0|=\sqrt{(2/3)^{2}+(2/3)^{2}}\approx0{,}9428. Máximo =2 (ainda maior que \varepsilon).
k = 1 → k+1 = 2:
x_{1}^{(2)}=\frac{4-x_{2}^{(1)}}{2} = \frac{4-\bigl(\tfrac{2}{3}-\tfrac{2}{3}\,i\bigr)}{2} = \frac{\tfrac{10}{3}+\tfrac{2}{3}\,i}{2} = \tfrac{5}{3}+\tfrac{1}{3}\,i\approx 1{,}6667+0{,}3333\,i.
x_{2}^{(2)}=\frac{x_{1}^{(2)}-2\,i}{3} = \frac{\tfrac{5}{3}+\tfrac{1}{3}\,i-2\,i}{3} = \frac{\tfrac{5}{3}-\tfrac{5}{3}\,i}{3} = \tfrac{5}{9}-\tfrac{5}{9}\,i\approx 0{,}5556-0{,}5556\,i.
Diferenças (módulos das mudanças): |x_{1}^{(2)}-x_{1}^{(1)}|\approx0{,}4714, |x_{2}^{(2)}-x_{2}^{(1)}|\approx0{,}1571. Máximo \approx0{,}4714>\varepsilon.
k = 2 → k+1 = 3:
x_{1}^{(3)}=\frac{4-x_{2}^{(2)}}{2} = \frac{4-\bigl(\tfrac{5}{9}-\tfrac{5}{9}\,i\bigr)}{2} = \frac{\tfrac{31}{9}+\tfrac{5}{9}\,i}{2} = \tfrac{31}{18}+\tfrac{5}{18}\,i\approx 1{,}7222+0{,}2778\,i.
x_{2}^{(3)}=\frac{x_{1}^{(3)}-2\,i}{3} = \frac{\tfrac{31}{18}+\tfrac{5}{18}\,i-2\,i}{3} = \frac{\tfrac{31}{18}-\tfrac{31}{18}\,i}{3} = \tfrac{31}{54}-\tfrac{31}{54}\,i\approx 0{,}5741-0{,}5741\,i.
Diferenças: |x_{1}^{(3)}-x_{1}^{(2)}|\approx0{,}0786, |x_{2}^{(3)}-x_{2}^{(2)}|\approx0{,}0262. Máximo \approx0{,}0786>\varepsilon.
k = 3 → k+1 = 4:
x_{1}^{(4)}=\frac{4-x_{2}^{(3)}}{2} = \frac{4-\bigl(\tfrac{31}{54}-\tfrac{31}{54}\,i\bigr)}{2} = \frac{\tfrac{185}{54}+\tfrac{31}{54}\,i}{2} = \tfrac{185}{108}+\tfrac{31}{108}\,i\approx 1{,}71296+0{,}28704\,i.
x_{2}^{(4)}=\frac{x_{1}^{(4)}-2\,i}{3} = \frac{\tfrac{185}{108}+\tfrac{31}{108}\,i-2\,i}{3} = \frac{\tfrac{185}{108}-\tfrac{185}{108}\,i}{3} = \tfrac{185}{324}-\tfrac{185}{324}\,i\approx 0{,}571605-0{,}571605\,i.
Diferenças: |x_{1}^{(4)}-x_{1}^{(3)}|\approx0{,}0131, |x_{2}^{(4)}-x_{2}^{(3)}|\approx0{,}0035. Máximo \approx0{,}0131>\varepsilon (ainda não suficiente).
k = 4 → k+1 = 5:
x_{1}^{(5)}=\frac{4-x_{2}^{(4)}}{2} = \frac{4-\bigl(\tfrac{185}{324}-\tfrac{185}{324}\,i\bigr)}{2} = \frac{\tfrac{1111}{324}+\tfrac{185}{324}\,i}{2} = \tfrac{1111}{648}+\tfrac{185}{648}\,i\approx 1{,}7141975+0{,}2854938\,i.
x_{2}^{(5)}=\frac{x_{1}^{(5)}-2\,i}{3} = \frac{\tfrac{1111}{648}+\tfrac{185}{648}\,i-2\,i}{3} = \frac{\tfrac{1111}{648}-\tfrac{1111}{648}\,i}{3} = \tfrac{1111}{1944}-\tfrac{1111}{1944}\,i\approx 0{,}5714281-0{,}5714281\,i.
Diferenças: |x_{1}^{(5)}-x_{1}^{(4)}|\approx0{,}001976, |x_{2}^{(5)}-x_{2}^{(4)}|\approx0{,}000250. Máximo \approx0{,}001976<\varepsilon.
Como o máximo das diferenças entre X^{(5)} e X^{(4)} ficou menor que \varepsilon=10^{-2}, o critério de parada é satisfeito e interrompemos as iterações. Foram necessárias 5 iterações (isto é, chegamos a k+1=5).

Passo 5

Resumo do que foi feito: obtiveram-se as aproximações iterativas X^{(1)},X^{(2)},\dots,X^{(5)} pelo esquema de Gauss–Seidel e, ao verificar o critério \max(|\Delta x_{i}|)<\varepsilon, a iteração parou em X^{(5)}. O método convergiu bem (a matriz é diagonalmente dominante por linhas), e os cálculos trataram corretamente os números complexos (módulo usado para comparar diferenças).

Resposta

\mathbf{X}\approx\begin{pmatrix} 1,7142+0,2855\,i\\[4pt] 0,5714-0,5714\,i \end{pmatrix}]

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