Utilize o método de Gauss -Seidel para encontrar o vetor solução do seguinte sistema:
Passo 1
O enunciado fornece o sistema linear e os parâmetros do método:
com tolerância
, número máximo de iterações
e vetor inicial
.
O que se pede: aplicar o método de Gauss–Seidel a partir de
, iterar até que a diferença entre iterações consecutivas seja menor que
(ou até atingir
iterações) e retornar o vetor solução aproximado obtido.
Informações relevantes dadas:
- o termo do segundo membro contém
, a unidade imaginária (logo as incógnitas poderão ser complexas); -
é o ponto inicial; - critério de parada:
; - limite de iterações:
.]
Passo 2
Derivar as fórmulas de iteração pelo método de Gauss–Seidel (isolando cada incógnita em sua equação e usando os valores mais recentes já calculados).
Da primeira equação isolamos
:
Da segunda equação isolamos
:
Portanto as fórmulas de iteração (usando Gauss–Seidel, que usa o valor novo de
já ao calcular
) são:
Breve observação didática sobre convergência: uma condição simples que garante (frequentemente) convergência de Gauss–Seidel é que a matriz do sistema seja diagonalmente dominante por linhas. Aqui a matriz é
e para cada linha
(linha 1:
; linha 2:
), logo temos dominância diagonal e é razoável esperar convergência.]
Passo 3
Definir o critério de parada usado: vou usar a norma infinito da diferença entre iterações consecutivas (ou seja, o máximo entre os módulos das diferenças das componentes). Formalmente:
onde para números complexos
é o módulo (por exemplo
). Começamos em
e repetimos até
ou
.
Passo 4
Executar as iterações (vou mostrar as contas e os valores numéricos). Lembre: usar sempre o valor mais recente de
ao calcular
.
Iteração
.
k = 0 → k+1 = 1:
Diferença com
:
,
. Máximo
(ainda maior que
).
k = 1 → k+1 = 2:
Diferenças (módulos das mudanças):
,
. Máximo
.
k = 2 → k+1 = 3:
Diferenças:
,
. Máximo
.
k = 3 → k+1 = 4:
Diferenças:
,
. Máximo
(ainda não suficiente).
k = 4 → k+1 = 5:
Diferenças:
,
. Máximo
.
Como o máximo das diferenças entre
e
ficou menor que
, o critério de parada é satisfeito e interrompemos as iterações. Foram necessárias 5 iterações (isto é, chegamos a
).
Passo 5
Resumo do que foi feito: obtiveram-se as aproximações iterativas
pelo esquema de Gauss–Seidel e, ao verificar o critério
, a iteração parou em
. O método convergiu bem (a matriz é diagonalmente dominante por linhas), e os cálculos trataram corretamente os números complexos (módulo usado para comparar diferenças).