Considere a equação do campo magnético para um material com permeabilidade magnética relativa \mu_{r}=18 dada por H(z, t)=4,07 e^{-19 z} \cos \left(3 \pi \times 10^{6} t-74 z\right) \hat{y} A / m. Determine a posição z (em metros) dentro do material para que o valor absoluto da amplitude do campo elétrico seja 8 \mathrm{~V} / \mathrm{m}.
a. 37,8 \times 10-3
b. 11,5 \times 10-3
c. 21,2 \times 10-3
d. 26,7 \times 10-3
e. 18,4 \times 10-3
f. 31,5 \times 10-3
g. 9,3 \times 10-3
h. 7,4 \times 10-3

Passo 1

O enunciado nos dá uma onda plana atenuada no material com \mu_r=18, descrita por
H(z,t)=4{,}07\,e^{-19z}\cos\bigl(3\pi\times10^{6}t-74z\bigr)\,\hat y\\ \text{A/m}.
Queremos achar a profundidade z tal que a amplitude do campo elétrico satisfaça \bigl|E_{\rm amp}(z)\bigr|=8\\ \text{V/m}.
Para isso vamos usar a relação
\eta = \frac{E}{H} \;=\;\frac{j\,\omega\,\mu}{\alpha+j\beta}
onde \alpha=19\\ \text{Np/m}, \beta=74\\ \text{rad/m} e \omega=3\pi\times10^6\\ \text{rad/s}.

Passo 2

Calculemos primeiro a permeabilidade absoluta do meio:
\mu = \mu_0\,\mu_r = 4\pi\times10^{-7}\times18 =2{,}2619467\times10^{-5}\\ \text{H/m}.
E o módulo do número de onda complexo
\bigl|\alpha+j\beta\bigr| = \sqrt{\alpha^2+\beta^2} =\sqrt{19^2+74^2} =\sqrt{5837} \approx76{,}398\\ \text{(1/m)}.

Passo 3

O módulo da impedância intrínseca é
\bigl|\eta\bigr| =\frac{\omega\,\mu}{\sqrt{\alpha^2+\beta^2}} =\frac{3\pi\times10^6\times2{,}2619467\times10^{-5}}{76{,}398} \approx2{,}79\\ \Omega.

Passo 4

A amplitude do campo elétrico em z é
E_{\rm amp}(z) =\bigl|\eta\bigr|\;H_0\,e^{-\alpha z} =2{,}79\times4{,}07\,e^{-19z} \approx11{,}35\,e^{-19z}\\ \text{V/m}.
Queremos E_{\rm amp}(z)=8, logo
11{,}35\,e^{-19z}=8 \quad\Longrightarrow\quad e^{-19z}=\frac{8}{11{,}35} \approx0{,}7049.
Tomando logaritmo e isolando z:
-19\,z=\ln(0{,}7049) \quad\Longrightarrow\quad z=-\frac{1}{19}\ln(0{,}7049) \approx0{,}01839\\ \text{m}.

Resposta

A profundidade requerida é
z\approx18{,}4\times10^{-3}\\ \text{m},
ou seja, alternativa (e).

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