Uma onda plana de 14MHz propaga em um material magnético onde a amplitude é reduzida em 55% a cada 1 metro. A diferença de fase entre os campos magnético e elétrico é de 15 graus e a permeabilidade magnética relativa é
\mu_{r}=10. Encontre o módulo da impedância intrínseca no meio em Ohms.
Questão 1Escolha uma opção:
a. 331,8
b. 305,4
c. 382,5
d. 367,7
e. 260,0
f. 358,3
g. 277,4

Passo 1

O enunciado diz que uma onda plana de frequência f=14\text{ MHz} se propaga num meio magnético com \mu_{r}=10. A cada 1\text{ m} a amplitude do campo cai 55\%, e a diferença de fase entre E e H é de 15^\circ. Precisamos encontrar o módulo da impedância intrínseca \eta desse meio.

Passo 2

Como a amplitude cai 55\% em 1\text{ m}, sobra 45\% do valor inicial, isto é
e^{-\alpha\cdot1} = 0{,}45.
Logo
\alpha = -\ln(0{,}45)\approx 0{,}7985\\ \text{Np/m}.

Passo 3

Em meio ôhmico, a impedância intrínseca é
\eta = \sqrt{\frac{j\omega\mu}{\sigma + j\omega\epsilon}}
e seu argumento é
\arg(\eta)=\frac{1}{2}\arctan\!\bigl(\tfrac{\sigma}{\omega\epsilon}\bigr).
Como \arg(\eta)=15^\circ, temos
\frac{1}{2}\,\delta = 15^\circ \quad\Longrightarrow\quad \delta = 30^\circ,
onde \delta=\arctan(\sigma/(\omega\epsilon)). Então
\tan\delta = \frac{\sigma}{\omega\epsilon} = \tan30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}}.

Passo 4

A constante de atenuação pode ser escrita como
\alpha = \omega\sqrt{\frac{\mu\epsilon}{2}} \sqrt{\sqrt{1+\tan^2\delta}\;-\;1}.
Com \tan\delta=1/\sqrt{3} segue
\sqrt{1+\tan^2\delta} = \sqrt{1+\tfrac{1}{3}} = 1{,}1547, \quad \sqrt{1{,}1547-1} = 0{,}3933.
Logo
\alpha = 0{,}3933\,\omega\,\sqrt{\frac{\mu\epsilon}{2}} \;\Longrightarrow\; \epsilon = \frac{2\alpha^2}{\mu\,(0{,}3933)^2\,\omega^2}.

Passo 5

Calculando numericamente:
\omega=2\pi\cdot14\times10^6,\quad \mu=\mu_0\mu_r=4\pi\cdot10^{-7}\times10,
\epsilon\approx8{,}48\times10^{-11}\\ \text{F/m} \quad\Rightarrow\quad \epsilon_r=\frac{\epsilon}{\epsilon_0}\approx9{,}58.

Passo 6

O módulo da impedância é
|\eta| = \sqrt{\frac{\mu}{\epsilon}\,\cos\delta},
com \cos30^\circ=0{,}8660. Substituindo dá
|\eta|\approx\sqrt{\frac{1{,}2566\times10^{-5}}{8{,}48\times10^{-11}}\times0{,}8660} \approx358{,}3\\ \Omega.

Resposta

f. 358,3

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