Considere a equação de Clairaut
Mostre que a reta
é tangente à parábola
no ponto
. Explique por que isto implica que
é solução singular da equação de Clairaut dada.
Passo 1
O enunciado trata da equação de Clairaut
cujos soluções gerais formam a família de retas
Precisamos mostrar que cada reta dessa família é tangente à parábola
no ponto
, e então concluir que
é a solução singular (o envelope) da família.
Passo 2
Para encontrar o ponto de interseção entre a reta e a parábola, igualamos
Reescrevendo,
logo
Portanto a reta e a parábola se encontram exatamente em
.
Passo 3
O coeficiente angular da reta é
. O coeficiente angular da parábola
é dado por
que em
vale
Como os declives coincidem naquele ponto, concluímos que a reta é de fato tangente à parábola em
.
Passo 4
Na teoria de equações de Clairaut, a solução singular aparece como envelope da família de retas. Para encontrá-la eliminamos
das equações
e
Calculando
e substituindo em
obtemos
Isso mostra que a parábola
é o envelope da família de retas, ou seja, a solução singular da equação de Clairaut.
Resposta
A parábola
é a solução singular (envelope) da equação de Clairaut dada.