Considere a equação de Clairaut
y=x y^prime-14(y^prime)^2
Mostre que a reta
y=C x-14 C^2
é tangente à parábola y=x^2 no ponto (C / 2, C^2 / 4). Explique por que isto implica que y=x^2 é solução singular da equação de Clairaut dada.

Passo 1

O enunciado trata da equação de Clairaut
y = x,y' ;-;tfrac14l(y'r)^2
cujos soluções gerais formam a família de retas
y = Cx ;-;tfrac14C^2
Precisamos mostrar que cada reta dessa família é tangente à parábola
y = x^2
no ponto l(C/2,;C^2/4r), e então concluir que y=x^2 é a solução singular (o envelope) da família.

Passo 2

Para encontrar o ponto de interseção entre a reta e a parábola, igualamos
x^2 ;=; Cx ;-;tfrac14C^2
Reescrevendo,
x^2 - Cx + tfrac14C^2 = l(x-tfrac C2r)^2 = 0
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x = tfrac C2, y = x^2 = l(tfrac C2r)^2 = tfracC^24
Portanto a reta e a parábola se encontram exatamente em l(C/2,;C^2/4r).

Passo 3

O coeficiente angular da reta é C. O coeficiente angular da parábola y=x^2 é dado por
y' = 2x,
que em x=C/2 vale
y'l(C/2r) = 2cdottfrac C2 = C
Como os declives coincidem naquele ponto, concluímos que a reta é de fato tangente à parábola em l(C/2,;C^2/4r).

Passo 4

Na teoria de equações de Clairaut, a solução singular aparece como envelope da família de retas. Para encontrá-la eliminamos C das equações
y = Cx - tfrac14C^2
e
partial ypartial C=0
Calculando
partial ypartial C = x ;-;tfrac12 C = 0 Longrightarrow C = 2x,
e substituindo em y = Cx - tfrac14C^2 obtemos
y = 2xcdot x - tfrac14(2x)^2 = 2x^2 - x^2 = x^2
Isso mostra que a parábola y=x^2 é o envelope da família de retas, ou seja, a solução singular da equação de Clairaut.

Resposta

A parábola
y = x^2
é a solução singular (envelope) da equação de Clairaut dada.

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