Determine a solução geral das equações abaixo.
y=-12 d yd x(2 x+d yd x).

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
y = -12 dydxl(2x + dydxr)
e pede a solução geral. Reconhecemos que se trata de uma equação de Clairaut, onde p=dydx aparece linearmente em x e num termo que depende só de p.

Passo 2

Para pôr na forma canônica de Clairaut u = x,p + f(p), definimos
u = -y
Então a equação vira
-y = x,p + tfrac12,p^2,
pois originalmente y = -x,p - tfrac12,p^2.

Passo 3

A solução geral de Clairaut obtém-se tomando p=C constante. Assim, no canônico
u = C,x + tfrac12,C^2,
isto é
-y = C,x + tfrac12,C^2 Longrightarrow y = -C,x - tfrac12,C^2,
onde C é uma constante arbitrária.

Passo 4

A solução singular (envelope) surge de
dudp = x + p = 0 Longrightarrow p = -x
Substituindo em u = x,p + tfrac12,p^2 obtemos
u = -x^2 + tfrac12,x^2 = -tfrac12,x^2 Longrightarrow -y = -tfrac12,x^2 Longrightarrow y = tfrac12,x^2

Resposta

Solução geral:
y = -C,x - tfrac12,C^2, CinR,
Solução singular (envelope):
y = tfrac12,x^2

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