Determine a solução geral das equações abaixo.
d yd x=(y-4 x)^2 sabendo que y1=4 x+2 é solução da equação.

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial
dydx = (y - 4x)^2
sabendo que y1(x)=4x+2 é uma solução particular.
Conteúdo: é uma equação de Riccati e, tendo uma solução particular, podemos usar a troca
y = y1 + u
para reduzi-la a uma equação separável.

Passo 2

Fazendo a substituição
y = 4x + 2 + u,
temos
dydx = 4 + dudx
Substituindo em dydx = (y-4x)^2
4 + u' = (u+2)^2,
onde u'=tfracdudx.

Passo 3

Do passo anterior temos
4 + u' = u^2 + 4u + 4 Longrightarrow u' = u^2 + 4u
Essa equação é separável.

Passo 4

Separamos variáveis:
duu(u+4) = dx
Para integrar, usamos frações parciais:
1u(u+4) = 14l(1u-1u+4r),
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integral duu(u+4) = 14integrall(1u-1u+4r),du = 14lnl|uu+4r| + C

Passo 5

Igualando ao lado direito:
14lnl|uu+4r| = x + C Longrightarrow lnl|uu+4r| = 4x + C1
uu+4 = K e^4x, K=e^C1
Resolvendo para u:
ul(1 - K e^4xr) = 4K e^4x Longrightarrow u = 4K e^4x1 - K e^4x

Passo 6

Voltando a y:
y = 4x + 2 + u = 4x + 2 + 4K e^4x1 - K e^4x,
onde K é constante arbitrária.

Resposta

boxed y(x) = 4x + 2 + 4K e^4x1 - K e^4x, KinR

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