Considere a equação em coordenadas cilíndricas dada por: r=2 cos (theta).
(a) Dê uma equação para esta superfície na forma: A x^2+B y^2+C z^2+D x+E y+F z+G=0;
(b) Classifique essa superfície.

Passo 1

O enunciado dá em coordenadas cilíndricas a superfície
r = 2cos(theta)
e pede (a) a mesma equação em coordenadas cartesianas na forma
A x^2+B y^2+C z^2+D x+E y+F z+G=0
e (b) a classificação da superfície (tipo de quádricas).

Passo 2

Lembramos as relações entre coordenadas cilíndricas e cartesianas:
r = raizx^2+y^2 e cos(theta)=xr. Substituindo em
r = 2cos(theta)
vimos que
raizx^2+y^2 = 2;xraizx^2+y^2

Passo 3

Multiplicando ambos os lados por raizx^2+y^2, obtemos
x^2+y^2 = 2x

Passo 4

Reescrevendo como um polinômio em x,y,z, basta notar que não há dependência em z. Então
x^2+y^2-2x = 0
é equivalente a
1cdot x^2 ;+;1cdot y^2;+;0cdot z^2;+;(-2),x;+;0,y;+;0,z;+;0 ;=;0

Passo 5

Comparando com a forma geral A x^2+B y^2+C z^2+D x+E y+F z+G=0, identificamos:
A=1, B=1, C=0, D=-2, E=0, F=0, G=0

Passo 6

Para a classificação: a equação não envolve z, logo é um cilindro cujo geratriz é paralela ao eixo z. A seção transversal no plano z= constante é
x^2-2x+y^2=0 Long<=ftrightarrow (x-1)^2+y^2=1,
ou seja, um círculo de raio 1. Portanto trata-se de um cilindro circular.

Resposta

(a) x^2+y^2-2x=0, ou seja
1,x^2+1,y^2+0,z^2-2,x+0,y+0,z+0=0
(b) É um cilindro circular (cilindro de eixo paralelo a z).

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