Considere a superfície de equação cartesiana dada por
-4 x^2+8 x+2 y^2+4 y+z^2+4 z+10=0
(a) Identifique a quádrica;
(b) Determine o vetor (x0, y0, z0) que representa a translação da superfície.

Passo 1

O enunciado dá a superfície
-4x^2+8x+2y^2+4y+z^2+4z+10=0
e pede: (a) classificar a quádricas correspondente; (b) encontrar o vetor de translação (x0,y0,z0) que leva essa superfície à forma canônica centrada.

Passo 2

Vamos agrupar os termos em x, y e z e completar o quadrado em cada caso.
Para x:
-4x^2+8x=-4l(x^2-2xr) =-4l((x-1)^2-1r) =-4(x-1)^2+4
Para y:
2y^2+4y=2l(y^2+2yr) =2l((y+1)^2-1r) =2(y+1)^2-2
Para z:
z^2+4z=(z+2)^2-4
Substituindo na equação original e somando as constantes 4-2-4+10=8, obtemos
-4(x-1)^2+2(y+1)^2+(z+2)^2+8=0 Longrightarrow -4(x-1)^2+2(y+1)^2+(z+2)^2=-8

Passo 3

Multiplicando por -1 e dividindo por 8 chegamos à forma canônica
(x-1)^22-(y+1)^24-(z+2)^28=1
Aqui temos um quadrado positivo e dois negativos, ou seja, é um hiperbolóide de duas folhas, cujo eixo principal está ao longo da direção x.

Passo 4

O centro dessa quádricas é o ponto em que os parênteses se anulam, isto é,
(x-1,;y+1,;z+2)=(0,0,0) ;Longrightarrow; (x,y,z)=(1,-1,-2)
Portanto, a translação que leva ao centro é dada pelo vetor (x0,y0,z0)=(1,-1,-2).

Resposta

(a) Hiperbolóide de duas folhas.
(b) (x0,y0,z0)=(1,-1,-2).

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