Dadas as matrizes
A=(cccc 1 & -5 & -1 & 2 0 & 2 & -3 & 4 0 & 0 & 4 & -2 0 & 0 & 0 & 3 ) e B=(cccc -3 & 0 & 0 & 0 3 & -4 & 0 & 0 2 & 2 & -1 & 0 2 & 1 & 1 & -2 )
determine:
B^-1

Passo 1

O enunciado pede a inversa da matriz triangular inferior
B = -3 & 0 & 0 & 0 3 & -4 & 0 & 0 2 & 2 & -1 & 0 2 & 1 & 1 & -2
O conteúdo é inversão de matriz triangular, que fazemos coluna a coluna resolvendo B,X = I por substituição.

Passo 2

Para uma matriz triangular inferior B e sua inversa X=B^-1 vale, para i>= j,
xii=1bii, xij=-1biisumk=j^i-1bik,xkj
As demais entradas xij com i<j são zero.

Passo 3

Calculamos primeiro os elementos da diagonal de X:
x11=1-3=-tfrac13, x22=1-4=-tfrac14, x33=1-1=-1, x44=1-2=-tfrac12

Passo 4

Agora a primeira coluna ( j=1) abaixo da diagonal:
Para i=2:
x21=-1b22l(b21x11r) =-1-4(3cdot(-tfrac13))=-tfrac14
Para i=3:
x31=-1b33l(b31x11+b32x21r) =-1-1l(2cdot(-tfrac13)+2cdot(-tfrac14)r)=-tfrac76
Para i=4:
x41=-1b44l(b41x11+b42x21+b43x31r) =-1-2l(2cdot(-tfrac13)+1cdot(-tfrac14)+1cdot(-tfrac76)r)=-tfrac2524

Passo 5

Segunda coluna ( j=2), abaixo da diagonal:
Para i=3:
x32=-1b33l(b32x22r) =-1-1(2cdot(-tfrac14))=-tfrac12
Para i=4:
x42=-1b44l(b42x22+b43x32r) =-1-2l(1cdot(-tfrac14)+1cdot(-tfrac12)r)=-tfrac38

Passo 6

Terceira coluna ( j=3), só i=4:
x43=-1b44l(b43x33r) =-1-2(1cdot(-1))=-tfrac12
Quarta coluna ( j=4) já está só na diagonal com x44=-tfrac12.

Passo 7

Reunindo tudo,
B^-1 = X = -tfrac13 & 0 & 0 & 0 -tfrac14 & -tfrac14 & 0 & 0 -tfrac76 & -tfrac12 & -1 & 0 -tfrac2524 & -tfrac38 & -tfrac12 & -tfrac12

Resposta

B^-1 = -tfrac13 & 0 & 0 & 0 -tfrac14 & -tfrac14 & 0 & 0 -tfrac76 & -tfrac12 & -1 & 0 -tfrac2524 & -tfrac38 & -tfrac12 & -tfrac12

Exercícios relacionados