Considere as seguintes equações paramétricas: x=u sen(v), y=u e z=u cos (v) com u, v in R.
(a) Dê uma equação para esta superfície na forma: A x^2+B y^2+C z^2+D x+E y+F z+G=0;
(b) Classifique esta superfície.

Passo 1

O enunciado nos dá uma superfície parametrizada por
x = u,sen(v), y = u, z = u,cos(v),
com u,vinR. O objetivo é eliminar os parâmetros u e v para obter uma equação implícita da forma
A x^2+B y^2+C z^2+D x+E y+F z+G=0,
e depois classificar esse tipo de superfície (uma quadric surface).

Passo 2

Repare que sen^2(v)+cos^2(v)=1. Assim, aplicando essa identidade em x e z obtemos
x^2+z^2 = l(u,sen(v)r)^2 + l(u,cos(v)r)^2 = u^2l(sen^2(v)+cos^2(v)r) = u^2

Passo 3

Como y=u, temos u^2=y^2. Substituindo em x^2+z^2=u^2
x^2+z^2=y^2

Passo 4

Reescrevendo no formato geral Ax^2+By^2+Cz^2+dots=0, ficamos com
x^2-y^2+z^2=0,
isto é, A=1, B=-1, C=1 e os demais coeficientes D=E=F=G=0.

Passo 5

A equação
x^2+z^2-y^2=0
define um cone quádruplo degenerado (cone duplo) de revolução em torno do eixo y, com vértice na origem. Em termos de superfícies quádricas, é um cone circular reto de duas nappes.

Resposta

a) ,x^2+z^2-y^2=0.
b) É um cone duplo (cone circular reto) com vértice em (0,0,0) e eixo ao longo de y.

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