Verifique, em cada um dos itens abaixo, se o conjunto V com as operações indicadas é um espaço vetorial sobre R.
V=[cca & -b b & a]: a, b in R, com as operações usuais de M2(R).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente verificar se um conjunto V com certas operações é um espaço vetorial sobre os números reais R. O conjunto V é formado por matrizes 2x2 do tipo:
a & -b b & a
onde a e b são números reais. As operações que estamos usando são as operações usuais de matrizes em M2(R) , ou seja, soma de matrizes e multiplicação por escalar.
Pra resolver isso, vamos checar se V satisfaz todos os axiomas de um espaço vetorial. Isso inclui verificar se a soma e a multiplicação por escalar estão bem definidas dentro do conjunto e se todas as propriedades necessárias são satisfeitas.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se V é fechado sob a adição de matrizes. Isso significa que se pegarmos duas matrizes quaisquer em V e somarmos elas, o resultado ainda deve estar em V .
Vamos considerar duas matrizes qualquer de V :
A = a1 & -b1 b1 & a1 , B = a2 & -b2 b2 & a2
Somando A e B :
A + B = a1 + a2 & -b1 - b2 b1 + b2 & a1 + a2 = c & -d d & c
onde c = a1 + a2 e d = b1 + b2 .
Como c e d são reais (soma de reais é real), a matriz resultante também está em V .

Passo 3

Agora, vamos verificar se V é fechado sob a multiplicação por escalar. Isso significa que se multiplicarmos uma matriz qualquer de V por um número real, o resultado ainda deve estar em V .
Tomemos uma matriz A em V e um escalar k in R :
A = a & -b b & a , kA = ka & -kb kb & ka = c & -d d & c
onde c = ka e d = kb .
Como c e d são reais, a matriz kA também está em V .

Passo 4

Agora que vimos que V é fechado sob adição e multiplicação por escalar, precisamos conferir as demais propriedades dos espaços vetoriais. Vamos listar algumas principais:
  1. Associatividade da soma: A soma de matrizes é associativa.
  2. Elemento neutro da soma: A matriz zero está em V :
0 & 0 0 & 0 in V
  1. Elemento inverso aditivo: Para cada A in V , existe -A in V :
-A = -a & b -b & -a
Que também está no formato de V .
4. Distributividade da multiplicação por escalar em relação à soma de vetores:
k(A + B) = kA + kB
  1. Distributividade da multiplicação por escalar em relação à soma de escalares:
(k + m)A = kA + mA
  1. Compatibilidade da multiplicação por escalares:
k(mA) = (km)A
  1. Elemento neutro da multiplicação por escalar:
1A = A
Todas essas propriedades são herdadas das operações usuais em M2(R) , então V as satisfaz.

Passo 5

Com todas essas verificações, concluímos que V com as operações de adição e multiplicação por escalar definidas é de fato um espaço vetorial sobre R .

Resposta

Sim, o conjunto V com as operações indicadas é um espaço vetorial sobre R .

Exercícios relacionados