Verifique, em cada um dos itens abaixo, se o conjunto com as operações indicadas é um espaço vetorial sobre . , com as operações usuais de .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente verificar se um conjunto com certas operações é um espaço vetorial sobre os números reais . O conjunto é formado por matrizes 2x2 do tipo:
onde e são números reais. As operações que estamos usando são as operações usuais de matrizes em , ou seja, soma de matrizes e multiplicação por escalar.
Pra resolver isso, vamos checar se satisfaz todos os axiomas de um espaço vetorial. Isso inclui verificar se a soma e a multiplicação por escalar estão bem definidas dentro do conjunto e se todas as propriedades necessárias são satisfeitas.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se é fechado sob a adição de matrizes. Isso significa que se pegarmos duas matrizes quaisquer em e somarmos elas, o resultado ainda deve estar em .
Vamos considerar duas matrizes qualquer de :
Somando e :
onde e .
Como e são reais (soma de reais é real), a matriz resultante também está em .
Passo 3
Agora, vamos verificar se é fechado sob a multiplicação por escalar. Isso significa que se multiplicarmos uma matriz qualquer de por um número real, o resultado ainda deve estar em .
Tomemos uma matriz em e um escalar :
onde e .
Como e são reais, a matriz também está em .
Passo 4
Agora que vimos que é fechado sob adição e multiplicação por escalar, precisamos conferir as demais propriedades dos espaços vetoriais. Vamos listar algumas principais:
Associatividade da soma: A soma de matrizes é associativa.
Elemento neutro da soma: A matriz zero está em :
Elemento inverso aditivo: Para cada A in V , existe -A in V :
-A = -a & b -b & -a
Que também está no formato de V .
4. Distributividade da multiplicação por escalar em relação à soma de vetores:
k(A + B) = kA + kB
Distributividade da multiplicação por escalar em relação à soma de escalares:
(k + m)A = kA + mA
Compatibilidade da multiplicação por escalares:
k(mA) = (km)A
Elemento neutro da multiplicação por escalar:
1A = A
Todas essas propriedades são herdadas das operações usuais em M2(R) , então V as satisfaz.
Passo 5
Com todas essas verificações, concluímos que V com as operações de adição e multiplicação por escalar definidas é de fato um espaço vetorial sobre R .
Resposta
Sim, o conjunto V com as operações indicadas é um espaço vetorial sobre R .