Considere a equação em coordenadas esféricas dada por: rho=2 cos (varphi).
(a) Dê uma equação para esta superfície na forma: A x^2+B y^2+C z^2+D x+E y+F z+G=0;
(b) Classifique essa superfície.

Passo 1

O enunciado dá a superfície em coordenadas esféricas pela equação
rho = 2cos(varphi)
e pede (a) a forma cartesiana
A x^2+B y^2+C z^2+D x+E y+F z+G=0
e (b) a classificação dessa superfície.

Passo 2

Em coordenadas esféricas temos
x = rhosin(varphi)cos(theta), y = rhosin(varphi)sin(theta), z = rhocos(varphi),
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cos(varphi) = zrho
Substituindo em rho = 2cos(varphi) obtemos
rho = 2zrho

Passo 3

Multiplicando ambos os lados por rho vem
rho^2 = 2z
Mas rho^2 = x^2 + y^2 + z^2, então
x^2 + y^2 + z^2 = 2z

Passo 4

Reescrevendo em forma canônica, isolamos os termos em z:
x^2 + y^2 + z^2 - 2z = 0 ;Long<=ftrightarrow; x^2 + y^2 + (z-1)^2 = 1
Isso mostra que a superfície é uma esfera de centro (0,0,1) e raio 1.

Resposta

(a) x^2 + y^2 + z^2 - 2z = 0.
(b) É uma esfera de centro (0,0,1) e raio 1.

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