Considere as superfícies cujas equações são dadas nos itens a seguir. Identifique estas superfícies.
(a) x^2-1=2 y^2+3 z^2 (em coordenadas cartesianas);
(b) x^2-y^2-z=0 (em coordenadas cartesianas).

Passo 1

O enunciado pede para identificar duas superfícies dadas por equações em coordenadas cartesianas. O conteúdo que vamos usar é a classificação de superfícies quadráticas (cônicas em 3D): colocamos cada equação na forma canônica e verificamos o número de sinais positivos e negativos (para quadriculas de segundo grau) ou o tipo de dependência de z (para paraboloides).

Passo 2

Analisando (a):
x^2-1=2y^2+3z^2
Passo 1: isolamos tudo para um lado e zeramos o outro:
x^2-2y^2-3z^2-1=0
Passo 2: dividimos ambos os lados por 1 (o termo independente) para ver a forma padrão:
x^21-y^21/2-z^21/3=1
Aqui temos um sinal positivo (em x^2) e dois negativos (em y^2,z^2), igual a 1. Isso caracteriza um hiperbolóide de duas folhas cujo eixo principal é o eixo x.

Passo 3

Analisando (b):
x^2-y^2-z=0
Basta isolar z:
z = x^2-y^2
Essa é a forma típica de um paraboloide hiperbólico, pois z depende positivamente de x^2 e negativamente de y^2.

Resposta

(a) Hiperbolóide de duas folhas com eixo no eixo x.
(b) Paraboloide hiperbólico.

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