Considere a equação t^2 y^prime+2 t y=1.
Determine as soluções y tais que y(2)=2 y(1).

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem
t^2y' + 2ty = 1
e pede a solução y(t) que satisfaz a condição de contorno
y(2) = 2,y(1)
O conteúdo aqui é equação linear de 1.º ordem e vamos resolver usando fator integrante.

Passo 2

Colocamos a equação na forma padrão y' + P(t),y = Q(t) dividindo tudo por t^2 (supondo tneq0):
y' + 2t,y = 1t^2

Passo 3

Calculamos o fator integrante
mu(t) = expl(integral 2t,dtr) = expl(2ln tr) = t^2

Passo 4

Multiplicamos a equação padrão por mu(t)=t^2, obtendo
t^2y' + 2t,y = 1,
que reconhecemos como
l(t^2yr)' = 1

Passo 5

Integramos ambos os lados em relação a t:
t^2y = integral 1,dt = t + C,
logo a solução geral é
y(t) = t + Ct^2 = 1t + Ct^2

Passo 6

Impondo a condição y(2)=2,y(1):
y(2)=12 + C4, y(1)=1 + C,
então
12 + C4 = 2l(1 + Cr) ;Longrightarrow; 12 + C4 = 2 + 2C
Multiplicando por 4:
2 + C = 8 + 8C ;Longrightarrow; -7C = 6 ;Longrightarrow; C = -67

Resposta

A única solução que satisfaz y(2)=2,y(1) é
boxedy(t) = 1t - 67,t^2,

Exercícios relacionados