Resolva as equações de Bernoulli:
y^prime-2t y=3t^2 y^4, t>0.

Passo 1

O enunciado dá a equação de Bernoulli
y' - 2t,y = 3t^2,y^4, t>0
O método de Bernoulli pede reconhecer que é da forma
y' + p(t),y = q(t),y^n
com p(t)=-tfrac2t, q(t)=tfrac3t^2 e n=4. Para resolver vamos usar a troca
v = y^1-n = y^-3

Passo 2

Calculamos v' em função de y e y'. Como v=y^-3, tem-se
v' = -3,y^-4,y'
Substituindo y' da equação original,
y' = 2t,y + 3t^2,y^4,
obtemos
v' = -3,y^-4l(2t,y + 3t^2,y^4r) = -6t,y^-3 - 9t^2
Como y^-3=v, isso vira a equação linear
v' + 6t,v = -9t^2

Passo 3

Para resolver
v' + 6t,v = -9t^2
calculamos o fator integrante
mu(t) = expl(integral 6t,dtr) = t^6
Multiplicando a equação por t^6 temos
(t^6 v)' = -9,t^4
Integrando em t,
t^6,v = integral -9,t^4,dt = -95,t^5 + C,
ou seja
v = y^-3 = -95,t^5t^6 + Ct^6 = -95,t + C,t^-6

Passo 4

Voltando a y, temos
y^-3 = C,t^-6 - 95,t
Invertendo e elevando à potência 1/3,
y(t) = l(C,t^-6 - tfrac95,tr)^-!1/3 = l(t^6C - 95,t^5r)^1/3 = t^2l(C - tfrac95,t^5r)^1/3

Resposta

boxedy(t) = t^2l(C - 95,t^5r)^1/3, C constante arbitrária,;t>0 á

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