Considere a equação de diferenças de um sistema causal LTI y[n]+(1 / a) y[n-1]=x[n-1].
a) Encontre a resposta ao impulso do sistema, h[n], como uma função da constante a.
b) Para que região de valores de a o sistema será estável?

Passo 1

O enunciado dá o sistema causal LTI definido por
y[n] + \frac{1}{a}y[n-1] = x[n-1]
e pede (a) a resposta ao impulso h[n] em função de a e (b) o intervalo de valores de a em que o sistema é estável.

Passo 2

Para achar h[n], aplicamos x[n]=\delta[n]. Então x[n-1]=\delta[n-1] e a equação torna-se
h[n] + \frac{1}{a}h[n-1] = \delta[n-1].

Passo 3

Como é causal, h[n]=0 para n<0.
Para n=0:
h[0] + \frac{1}{a}h[-1] = \delta[-1] = 0 \quad\Longrightarrow\quad h[0]=0.
Para n=1:
h[1] + \frac{1}{a}h[0] = \delta[0] = 1 \quad\Longrightarrow\quad h[1]=1.

Passo 4

Para n\ge2, \delta[n-1]=0 e obtemos a homogênea
h[n] + \frac{1}{a}h[n-1]=0 \quad\Longrightarrow\quad h[n] = -\frac{1}{a}\,h[n-1].

Passo 5

Iterando a relação para n\ge1, como h[1]=1, resulta
h[n] = \Bigl(-\tfrac{1}{a}\Bigr)^{\,n-1},\quad n\ge1,
e zerado para n<1. Em forma unificada:
h[n]=\Bigl(-\tfrac{1}{a}\Bigr)^{\,n-1}u[n-1].

Passo 6

O sistema é estável se \sum_{n=-\infty}^{\infty}|h[n]|<\infty.
Como só há termos para n\ge1, a soma vira \sum_{n=1}^\infty\bigl|1/a\bigr|^{n-1}, que converge se e só se \bigl|1/a\bigr|<1, i.e.\ |a|>1.

Resposta

a) \displaystyle h[n]=\Bigl(-\tfrac{1}{a}\Bigr)^{n-1}u[n-1].
b) O sistema é estável para |a|>1.

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