Considere a equação de diferenças de um sistema causal LTI y[n]+(1 / a) y[n-1]=x[n-1].
a) Encontre a resposta ao impulso do sistema, h[n], como uma função da constante a.
b) Para que região de valores de a o sistema será estável?
Passo 1
O enunciado dá o sistema causal LTI definido por
y[n] + \frac{1}{a}y[n-1] = x[n-1]
e pede (a) a resposta ao impulso h[n] em função de a e (b) o intervalo de valores de a em que o sistema é estável.
Passo 2
Para achar h[n], aplicamos x[n]=\delta[n]. Então x[n-1]=\delta[n-1] e a equação torna-se
O sistema é estável se \sum_{n=-\infty}^{\infty}|h[n]|<\infty.
Como só há termos para n\ge1, a soma vira \sum_{n=1}^\infty\bigl|1/a\bigr|^{n-1}, que converge se e só se \bigl|1/a\bigr|<1, i.e.\ |a|>1.
Resposta
a) \displaystyle h[n]=\Bigl(-\tfrac{1}{a}\Bigr)^{n-1}u[n-1].
b) O sistema é estável para |a|>1.