Determine se existe a DTFT do sinal \mathrm{x}[\mathrm{n}] cuja transformada z esta expressa abaixo, sem determinar o sinal no tempo. Identifique a DTFT caso ela exista.
X(z)=\frac{z^{-1}}{\left(1-\frac{1}{3} z^{-1}\right)\left(1+3 z^{-1}\right)}, \quad \frac{1}{3}<|z|<3 .

Passo 1

O enunciado nos dá a transformada em z de um sinal x[n]:
X(z)=\frac{z^{-1}}{\bigl(1-\tfrac13\,z^{-1}\bigr)\bigl(1+3\,z^{-1}\bigr)} ,\quad \frac13<|z|<3
e pede para verificar se a transformada de Fourier discreta (DTFT) existe e, em caso afirmativo, escrevê-la sem precisar determinar x[n].

Passo 2

Lembrando da teoria, a DTFT existe se e somente se o contorno |z|=1 estiver contido na região de convergência (ROC) da X(z).

Passo 3

A ROC dada é
\tfrac13<|z|<3.
Como 1 satisfaz \tfrac13<1<3, temos |z|=1 estritamente dentro da ROC. Logo, a DTFT existe.

Passo 4

Para obter a DTFT basta fazer z=e^{j\omega} em X(z). Mantendo a forma original com potências negativas:
X(e^{j\omega}) =\frac{e^{-j\omega}}{\displaystyle\Bigl(1-\tfrac13e^{-j\omega}\Bigr)\Bigl(1+3\,e^{-j\omega}\Bigr)}.

Passo 5

Opcionalmente, para ver mais claro, podemos multiplicar numerador e denominador por e^{2j\omega}, o que dá
X(e^{j\omega}) =\frac{e^{j\omega}}{(e^{j\omega}-\tfrac13)\,(e^{j\omega}+3)}.

Resposta

Sim, a DTFT existe, pois |z|=1 está na ROC, e vale
X(e^{j\omega}) =\frac{e^{-j\omega}}{\bigl(1-\tfrac13e^{-j\omega}\bigr)\bigl(1+3\,e^{-j\omega}\bigr)}
que é equivalente a
X(e^{j\omega}) =\frac{e^{j\omega}}{(e^{j\omega}-\tfrac13)\,(e^{j\omega}+3)}.

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