Seja x[n] uma sequência absolutamente somável,
\sum_{n=-\infty}^{\infty}|x[n]|<\infty
cuja transformada z é racional. Se X(z) tiver um pólo em z=\frac{1}{3} e se \lim _{|z| \rightarrow \infty} X(z)=1, pergunta-se: o que pode ser dito a respeito da extensão de x[n] (isto é, comprimento finito, lateral esquerda, etc.)?

Passo 1

O enunciado diz que \{x[n]\} é absolutamente somável e que X(z) é uma função racional que possui um pólo em z=\tfrac13. Além disso
\lim_{|z|\to\infty}X(z)=1.
O conteúdo envolvido é a relação entre pólos, região de convergência (ROC) e o suporte da sequência x[n].

Passo 2

Como \{x[n]\} é absolutamente somável, a ROC de X(z) deve incluir o infinito |z|\to\infty. O pólo em z=\tfrac13 implica que a ROC não pode conter |z|\le\tfrac13. Logo a ROC é
|z|>\tfrac13.

Passo 3

Uma ROC do tipo |z|>r_0 corresponde a uma sequência right-sided, ou seja, x[n]=0 para n<0. Além disso, como existe um pólo em z=\tfrac13, a sequência é de duração infinita para n\ge0.

Passo 4

Para uma sequência right-sided temos
X(z)=\sum_{n=0}^{\infty}x[n]\,z^{-n}.
Ao fazer |z|\to\infty, todos os termos com n\ge1 vão a zero e sobra
\lim_{|z|\to\infty}X(z)=x[0].
Como dado que esse limite vale 1, concluímos que
x[0]=1.

Resposta

x[n] é causal (right-sided), de duração infinita em n\ge0, e satisfaz x[0]=1.

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