O enunciado pede três coisas: (i) desenhar (descrever) o gráfico da função periódica de período 2\pi\) dada por
\[f(x)=\begin{cases}\sin x, & 0\le x\le\pi,\\[4pt] 0, & -\pi\le x<0,\end{cases}
(ii) determinar a expansão em série de Fourier de f\] (período \(2\pi), e (iii) a partir dessa série mostrar que
Informações importantes dadas: f é 2\pi-periódica e, num período [-\,\pi,\pi), vale f(x)=0 para x\in[-\pi,0) e f(x)=\sin x para x\in[0,\pi]. Não há outras surpresas: vamos usar a definição padrão dos coeficientes de Fourier para período 2\pi.]
Passo 2
Descrição/“gráfico” da função (período 2\pi) — como desenhar mentalmente:
No intervalo [-\,\pi,0) a função é a linha horizontal f(x)=0.
No intervalo [0,\pi] a função é a curva f(x)=\sin x (começa em f(0)=0, sobe até f(\pi/2)=1, e volta a f(\pi)=0).
Como a função é 2\pi-periódica, esse bloco se repete: à direita de \pi recomeça com 0 até 2\pi, etc., e à esquerda de -\pi também se repete.
Portanto, o gráfico é uma sequência de “meia-ondinhas” \sin x sobre cada intervalo [2k\pi,2k\pi+\pi] e zeros sobre [2k\pi-\pi,2k\pi], para todos inteiros k.
Passo 3
Fórmulas dos coeficientes da série de Fourier (período 2\pi):
Observação do caso n=1: diretamente \int_{0}^{\pi}\sin x\cos x\,dx=\tfrac{1}{2}\int_{0}^{\pi}\sin 2x\,dx=0. Portanto o resultado acima é consistente porque para n ímpar (em particular n=1) o numerador 1+(-1)^{n}=0, e para n par o valor é dado pela expressão com denominação não nula. Assim, para todos n\ge 1 podemos escrever de forma compacta
a_{n}=-\frac{1+(-1)^{n}}{\pi\,(n^{2}-1)}.
Interpretação útil: se n é ímpar então 1+(-1)^{n}=0 e a_{n}=0. Se n é par, n=2m, então 1+(-1)^{n}=2 e
Essa é a forma prática da expansão: constante 1/\pi, soma sobre harmônicos pares de cosseno com coeficientes -\tfrac{2}{\pi(4m^{2}-1)}, e o termo \tfrac{1}{2}\sin x.
Passo 8
Usando a série para obter a soma pedida. Observação sobre convergência: em x onde f é contínua, a série de Fourier converge para f(x). O ponto x=0 pertence ao intervalo onde f está contínua do lado direito (e a definição do valor f(0)=\sin 0=0 coincide), então podemos avaliar a série em x=0.
Avalie a série em x=0: