1. Seja f(x) uma função periódica de período 2 \pi definida por
f(x)= \begin{cases}\sin x, & 0 \leq x \leq \pi \\\\ 0, & -\pi \leq x<0\end{cases}
Faça um gráfico dessa função e determine sua expansão em série de Fourier. A partir dessa série mostre que
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{4 n^{2}-1}=\frac{1}{2}

Passo 1

O enunciado pede três coisas: (i) desenhar (descrever) o gráfico da função periódica de período 2\pi\) dada por \[f(x)=\begin{cases}\sin x, & 0\le x\le\pi,\\[4pt] 0, & -\pi\le x<0,\end{cases}
(ii) determinar a expansão em série de Fourier de f\] (período \(2\pi), e (iii) a partir dessa série mostrar que
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{4n^{2}-1}=\frac{1}{2}.
Informações importantes dadas: f é 2\pi-periódica e, num período [-\,\pi,\pi), vale f(x)=0 para x\in[-\pi,0) e f(x)=\sin x para x\in[0,\pi]. Não há outras surpresas: vamos usar a definição padrão dos coeficientes de Fourier para período 2\pi.]

Passo 2

Descrição/“gráfico” da função (período 2\pi) — como desenhar mentalmente:
  • No intervalo [-\,\pi,0) a função é a linha horizontal f(x)=0.
  • No intervalo [0,\pi] a função é a curva f(x)=\sin x (começa em f(0)=0, sobe até f(\pi/2)=1, e volta a f(\pi)=0).
  • Como a função é 2\pi-periódica, esse bloco se repete: à direita de \pi recomeça com 0 até 2\pi, etc., e à esquerda de -\pi também se repete.
    Portanto, o gráfico é uma sequência de “meia-ondinhas” \sin x sobre cada intervalo [2k\pi,2k\pi+\pi] e zeros sobre [2k\pi-\pi,2k\pi], para todos inteiros k.

Passo 3

Fórmulas dos coeficientes da série de Fourier (período 2\pi):
  • O termo médio (coeficiente constante):
a_{0}=\frac{1}{\pi}\int_{-\,\pi}^{\pi} f(x)\,dx.
  • Os coeficientes das cossenos:
a_{n}=\frac{1}{\pi}\int_{-\,\pi}^{\pi} f(x)\cos(nx)\,dx,\qquad n\ge 1.
  • Os coeficientes dos senos:
b_{n}=\frac{1}{\pi}\int_{-\,\pi}^{\pi} f(x)\sin(nx)\,dx,\qquad n\ge 1.
A série de Fourier (convergindo nos pontos de continuidade para f(x)) é
f(x)=\frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\bigl(a_{n}\cos(nx)+b_{n}\sin(nx)\bigr).
Como f(x)=0 em [-\,\pi,0) e f(x)=\sin x em [0,\pi], todas as integrais acima podem ser reduzidas ao intervalo [0,\pi].

Passo 4

Cálculo de a_{0}:
a_{0}=\frac{1}{\pi}\int_{-\,\pi}^{\pi} f(x)\,dx=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi}\sin x\,dx.
Calcule a integral: \int_{0}^{\pi}\sin x\,dx=[-\,\cos x]_{0}^{\pi}=-\cos\pi+ \cos 0 = -(-1)+1=2.
Logo
a_{0}=\frac{2}{\pi},\quad \text{e portanto}\quad \frac{a_{0}}{2}=\frac{1}{\pi}.
Explicação rápida do porquê: a_{0}/2 é a média da função no período; aqui a média é 1/\pi.

Passo 5

Cálculo de a_{n} para n\ge 1:
a_{n}=\frac{1}{\pi}\int_{-\,\pi}^{\pi} f(x)\cos(nx)\,dx=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi}\sin x\cos(nx)\,dx.
Para calcular \int_{0}^{\pi}\sin x\cos(nx)\,dx usamos a identidade produto-para-soma
\sin x\cos(nx)=\tfrac{1}{2}\bigl(\sin((n+1)x)+\sin((1-n)x)\bigr).
Integrando:
\int_{0}^{\pi}\sin x\cos(nx)\,dx=\tfrac{1}{2}\left[\frac{-\cos((n+1)x)}{n+1}+\frac{-\cos((1-n)x)}{1-n}\right]_{0}^{\pi}.
Agora avaliamos os cossenos usando \cos(k\pi)=(-1)^{k} para k\in\mathbb{Z}. Após simplificar (detalhes algébricos abaixo) obtemos
\int_{0}^{\pi}\sin x\cos(nx)\,dx=-\frac{1+(-1)^{n}}{n^{2}-1}\qquad\text{(para }n\neq 1\text{)}.
Observação do caso n=1: diretamente \int_{0}^{\pi}\sin x\cos x\,dx=\tfrac{1}{2}\int_{0}^{\pi}\sin 2x\,dx=0. Portanto o resultado acima é consistente porque para n ímpar (em particular n=1) o numerador 1+(-1)^{n}=0, e para n par o valor é dado pela expressão com denominação não nula. Assim, para todos n\ge 1 podemos escrever de forma compacta
a_{n}=-\frac{1+(-1)^{n}}{\pi\,(n^{2}-1)}.
Interpretação útil: se n é ímpar então 1+(-1)^{n}=0 e a_{n}=0. Se n é par, n=2m, então 1+(-1)^{n}=2 e
a_{2m}=-\frac{2}{\pi(4m^{2}-1)}.

Passo 6

Cálculo de b_{n} para n\ge 1:
b_{n}=\frac{1}{\pi}\int_{-\,\pi}^{\pi} f(x)\sin(nx)\,dx=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi}\sin x\sin(nx)\,dx.
Usamos a identidade produto-para-soma
\sin x\sin(nx)=\tfrac{1}{2}\bigl(\cos((1-n)x)-\cos((1+n)x)\bigr).
Então
\int_{0}^{\pi}\sin x\sin(nx)\,dx=\tfrac{1}{2}\left[\frac{\sin((1-n)x)}{1-n}-\frac{\sin((1+n)x)}{1+n}\right]_{0}^{\pi}.
Para inteiros k temos \sin(k\pi)=0, então os termos se anulam para todo n\neq 1, dando integral 0. Para n=1 temos
\int_{0}^{\pi}\sin^{2}x\,dx=\frac{\pi}{2},
logo
b_{1}=\frac{1}{\pi}\cdot\frac{\pi}{2}=\frac{1}{2},
e para n\ge 2 (qualquer n\neq 1) temos b_{n}=0.
Resumo:
b_{n}=\begin{cases}\tfrac{1}{2}, & n=1,\\[4pt] 0, & n\ge 2.\end{cases}]

Passo 7

Escrevendo a série de Fourier completa: juntando os coeficientes calculados,
f(x)=\frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\bigl(a_{n}\cos(nx)+b_{n}\sin(nx)\bigr)
substituindo a_{0},a_{n},b_{n} obtemos
f(x)=\frac{1}{\pi}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(-\frac{1+(-1)^{n}}{\pi(n^{2}-1)}\cos(nx)+b_{n}\sin(nx)\right).
Como só b_{1}=1/2 é não nulo e a_{n} não nulos apenas para n pares, é mais claro separar os termos pares:
f(x)=\frac{1}{\pi}-\frac{2}{\pi}\sum_{m=1}^{\infty}\frac{\cos(2mx)}{4m^{2}-1}+\frac{1}{2}\sin x.
Essa é a forma prática da expansão: constante 1/\pi, soma sobre harmônicos pares de cosseno com coeficientes -\tfrac{2}{\pi(4m^{2}-1)}, e o termo \tfrac{1}{2}\sin x.

Passo 8

Usando a série para obter a soma pedida. Observação sobre convergência: em x onde f é contínua, a série de Fourier converge para f(x). O ponto x=0 pertence ao intervalo onde f está contínua do lado direito (e a definição do valor f(0)=\sin 0=0 coincide), então podemos avaliar a série em x=0.
Avalie a série em x=0:
f(0)=0 \quad\text{(pois }f(0)=\sin 0=0\text{)}.
Pela série,
0=f(0)=\frac{1}{\pi}-\frac{2}{\pi}\sum_{m=1}^{\infty}\frac{\cos(0)}{4m^{2}-1}+\frac{1}{2}\sin 0.
Como \cos(0)=1 e \sin 0=0, isso dá
0=\frac{1}{\pi}-\frac{2}{\pi}\sum_{m=1}^{\infty}\frac{1}{4m^{2}-1}.
Multiplicando por \pi e resolvendo para a soma,
\sum_{m=1}^{\infty}\frac{1}{4m^{2}-1}=\frac{1}{2}.
Isso é exatamente o que se pedia mostrar.

Resposta

f(x)=\frac{1}{\pi}-\frac{2}{\pi}\sum_{m=1}^{\infty}\frac{\cos(2mx)}{4m^{2}-1}+\frac{1}{2}\sin x
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{4n^{2}-1}=\frac{1}{2}

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