Entendendo a série como série de potências em uma nova variável. É útil introduzir a variável
y=2x+1.
Com isso a série fica
f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{y^{n}}{(n+1)^{2}}.
Assim a questão de convergência sobre x transforma-se em convergência sobre y. Vou primeiro estudar a convergência da série em y e depois voltar para x.
Passo 3
Aplicando o critério de raiz (ou de Cauchy) para a série em y. Vou usar o teste da raiz: para a série \sum b_n com b_n=\dfrac{y^{n}}{(n+1)^{2}}, o teste diz que a série converge se
\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|b_n|}<1,
diverge se o limite superior é >1, e é inconclusivo se é igual a 1. Calculemos
A série \sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{(n+1)^{2}} é uma série p-com p=2>1, logo converge (é absolutamente convergente). Portanto a série em y converge também para todo |y|=1. Conclusão para y:
\text{a série converge para todo }y\text{ com }|y|\le 1.
Passo 5
Voltando para x usando y=2x+1. A condição de convergência |y|\le 1 vira
|2x+1|\le 1.
Resolvendo essa desigualdade em x:
-1\le 2x+1\le 1.
Subtraindo 1 em todas as partes:
-2\le 2x\le 0.
Dividindo por 2:
-1\le x\le 0.
Portanto a série converge para todo x no intervalo fechado [-1,0]. Esse é o domínio real da função f.
Passo 6
Interpretação complexa e raio de convergência em torno de um centro k. É útil ver a série como composição f(x)=g(y) com y=2x+1 e
g(y)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{y^{n}}{(n+1)^{2}}.
Para g a região de analiticidade (no plano complexo y) é o disco aberto |y|<1 (a série é analítica nele). Em termos de x isso corresponde ao disco complexo centrado em x=-\tfrac{1}{2} de raio \tfrac{1}{2}, pois
Uma propriedade importante: o raio de convergência de uma expansão em série de potências em torno de um ponto k é a distância do ponto k até a singularidade mais próxima da função no plano complexo. Aqui a região de analiticidade é o disco centrado em -\tfrac{1}{2} com raio \tfrac{1}{2}; a fronteira do disco (onde |2x+1|=1) é a fronteira natural. Assim, para um centro k tal que k está dentro desse disco (isto é, |k+\tfrac{1}{2}|<\tfrac{1}{2}), o raio de convergência da expansão em torno de k será a distância do ponto k até a fronteira do disco.
Passo 7
Cálculo explícito de R(k). Seja k (real ou complexo) com |k+\tfrac{1}{2}|<\tfrac{1}{2}. O centro do disco é c=-\tfrac{1}{2} e o raio do disco é r=\tfrac{1}{2}. A fórmula geométrica para a distância do ponto k até a fronteira do disco é
Se k não estiver dentro do disco (isto é, se |k+\tfrac{1}{2}|\ge \tfrac{1}{2}), a função não é analítica em k (a série original não define um valor analítico em torno de k), portanto não existe uma expansão de Taylor com raio positivo centrada em tal k; nesse caso podemos dizer que não há expansão de potência com raio positivo ou formalmente R(k)=0.
Passo 8
Resumo da interpretação e observação final. Em palavras: a série original é uma série de potências em y=2x+1 com raio 1 em y; em x isso vira um disco de convergência centrado em -\tfrac{1}{2} e raio \tfrac{1}{2}. Qualquer expansão em torno de k tem raio igual à distância de k até a fronteira desse disco, ou seja R(k)=\tfrac{1}{2}-|k+\tfrac{1}{2}| quando k está dentro do disco.