Considere a equação diferencial
(x+3) y^prime prime+(x+2) y^prime-y=0
Assumindo que y1(x)=e^-x e y2(x)=x+2 são soluções da equação diferencial, verifique que y1(x) e y2(x) são soluções fundamentais da mesma;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma equação diferencial de segunda ordem:
(x+3) y'' + (x+2) y' - y = 0
A gente precisa verificar se as funções y1(x) = e^-x e y2(x) = x + 2 são soluções fundamentais dessa equação. Isso envolve entender conceitos de equações diferenciais e linearidade das soluções.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para duas soluções serem fundamentais, elas precisam ser linearmente independentes. Ou seja, uma não pode ser múltiplo da outra. Para verificar isso, usamos o Wronskiano.

Passo 3

O Wronskiano W(y1, y2) é definido por:
W(y1, y2) = y1 & y2 y1' & y2' = y1 y2' - y2 y1'
Se o Wronskiano for diferente de zero em algum ponto no intervalo considerado, as soluções são linearmente independentes.

Passo 4

Vamos calcular as derivadas das funções:
Para y1(x) = e^-x :
y1' = -e^-x
Para y2(x) = x + 2 :
y2' = 1

Passo 5

Agora, substituímos no Wronskiano:
W(y1, y2) = e^-x cdot 1 - (x + 2) cdot (-e^-x) = e^-x + (x + 2)e^-x = (x + 3)e^-x

Passo 6

Observamos que e^-x nunca é zero e x + 3 também não é zero para x neq -3 . Portanto, o Wronskiano W(y1, y2) é diferente de zero, exceto possivelmente em x = -3 .

Passo 7

Como o Wronskiano não é zero em geral, concluímos que y1(x) e y2(x) são soluções linearmente independentes e, portanto, soluções fundamentais da equação diferencial dada.

Resposta

As funções y1(x) = e^-x e y2(x) = x + 2 são soluções fundamentais da equação diferencial.

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