Assumindo que e são soluções da equação diferencial, verifique que e são soluções fundamentais da mesma;
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma equação diferencial de segunda ordem:
A gente precisa verificar se as funções e são soluções fundamentais dessa equação. Isso envolve entender conceitos de equações diferenciais e linearidade das soluções.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para duas soluções serem fundamentais, elas precisam ser linearmente independentes. Ou seja, uma não pode ser múltiplo da outra. Para verificar isso, usamos o Wronskiano.
Passo 3
O Wronskiano é definido por:
Se o Wronskiano for diferente de zero em algum ponto no intervalo considerado, as soluções são linearmente independentes.
Observamos que e^-x nunca é zero e x + 3 também não é zero para x neq -3 . Portanto, o Wronskiano W(y1, y2) é diferente de zero, exceto possivelmente em x = -3 .
Passo 7
Como o Wronskiano não é zero em geral, concluímos que y1(x) e y2(x) são soluções linearmente independentes e, portanto, soluções fundamentais da equação diferencial dada.
Resposta
As funções y1(x) = e^-x e y2(x) = x + 2 são soluções fundamentais da equação diferencial.