Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
lim (x, y) (0,0) -x^2 y2 x^2+2 y^2.

Passo 1

O enunciado pede o limite da função de duas variáveis
f(x,y) = -x^2y2x^2 + 2y^2
quando (x,y)to(0,0). O conteúdo aqui é cálculo de limite em várias variáveis, e vamos usar mudança para coordenadas polares e o Teorema do Confronto (ou Squeeze Theorem) para mostrar que o limite existe e é zero.

Passo 2

Fazemos a mudança para coordenadas polares, definindo
x = rcostheta, y = rsintheta,
onde r = raizx^2+y^2 e rto0^+ corresponde a (x,y)to(0,0).

Passo 3

Substituindo em f(x,y), o numerador fica
-x^2y = -l(rcosthetar)^2,l(rsinthetar) = -r^3cos^2theta,sintheta
e o denominador fica
2x^2+2y^2 = 2l(r^2cos^2theta + r^2sin^2thetar) = 2r^2

Passo 4

Logo
f(r,theta) = -r^3cos^2theta,sintheta2r^2 = -r,cos^2theta,sintheta2

Passo 5

Para ver o comportamento quando rto0, note que
l|f(r,theta)r| = r,|cos^2theta,sintheta|2 <= r2,
pois |cos^2theta,sintheta|<=1. Como tfracr2to0 quando rto0, pelo Teorema do Confronto concluímos que
f(r,theta)to0

Resposta

O limite existe e vale
lim(x,y)to(0,0) -x^2y2x^2+2y^2 = 0

Exercícios relacionados