Encontre o valor de

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de continuidade! A gente precisa encontrar o valor de a > 0 que faz a função f(x, y) ser contínua no ponto (0,0). Para isso, vamos usar conceitos de limites e continuidade de funções de duas variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é continuidade em um ponto. Uma função é contínua em (0,0) se o limite quando (x,y) aproxima de (0,0) for igual ao valor da função nesse ponto. Ou seja:
lim(x,y) to (0,0) f(x, y) = f(0,0)

Passo 3

Vamos calcular o limite da função quando (x, y) to (0,0). A função para (x, y) neq (0,0) é:
f(x, y) = cos(x + y) cdot sin(x + y)x + y
Para facilitar, vamos fazer uma substituição: seja u = x + y. Assim, a função vira:
f(u) = cos(u) cdot sin(u)u

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite de f(u) quando u to 0:
limu to 0 cos(u) cdot sin(u)u
Sabemos que limu to 0 sin(u)u = 1 e cos(0) = 1. Então:
limu to 0 cos(u) cdot sin(u)u = cos(0) cdot limu to 0 sin(u)u = 1 cdot 1 = 1

Passo 5

Agora que temos o limite, igualamos ao valor da função no ponto (0,0):
1 = a^3 - 2a^2 - 3a + 1
Simplificando a equação:
a^3 - 2a^2 - 3a + 1 - 1 = 0 a^3 - 2a^2 - 3a = 0

Passo 6

Vamos fatorar a equação:
a(a^2 - 2a - 3) = 0
Resolvendo a^2 - 2a - 3 = 0 usando a fórmula de Bhaskara:
a = 2 pm raiz(2)^2 - 4 cdot 1 cdot (-3)2 cdot 1 = 2 pm raiz4 + 122 = 2 pm raiz162 = 2 pm 42
Assim, as soluções são:
a = 2 + 42 = 3 e a = 2 - 42 = -1
Como a > 0, descartamos a = -1.

Resposta

O valor de a que faz a função ser contínua em (0,0) é a = 3.

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