Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
.
Passo 1
O enunciado pede o limite de uma função de duas variáveis quando
:
O conteúdo é análise de existência de limite em
, que exige verificar se o valor da expressão é o mesmo ao longo de diferentes curvas de aproximação a
.
Passo 2
Vamos primeiro aproximar por retas
. Substituindo:
Quando
, isso tende a
para todo
. Ou seja, ao longo de qualquer reta
o limite vale
.
Passo 3
Agora aproximamos por uma curva que faça o denominador anular mais rápido. Tomemos
com
. Então
logo
À medida que
, isso cresce sem limite, isto é,
Passo 4
Encontramos duas trajetórias de aproximação a
com comportamentos distintos: pelas retas o valor tende a
, e pela curva
a expressão diverge para
. Logo, o limite não existe.
Resposta
O limite não existe.