Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
lim (x, y) (0,0) x yx^3+y^2.

Passo 1

O enunciado pede o limite de uma função de duas variáveis quando (x,y)to(0,0):
lim(x,y)to(0,0) xyx^3+y^2
O conteúdo é análise de existência de limite em R^2, que exige verificar se o valor da expressão é o mesmo ao longo de diferentes curvas de aproximação a (0,0).

Passo 2

Vamos primeiro aproximar por retas y=mx. Substituindo:
xyx^3+y^2 =x,(m x)x^3+(m x)^2 =m x^2x^3+m^2x^2 =m x^2x^2(x+m^2) =m xx+m^2
Quando xto0, isso tende a
limxto0m xx+m^2 =0,
para todo minR. Ou seja, ao longo de qualquer reta y=mx o limite vale 0.

Passo 3

Agora aproximamos por uma curva que faça o denominador anular mais rápido. Tomemos y=x^3/2 com x>=0. Então
xy = xcdot x^3/2=x^5/2, x^3+y^2 = x^3 + l(x^3/2r)^2 = x^3+x^3=2x^3,
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xyx^3+y^2 =x^5/22x^3 =12,x^-1/2
À medida que xto0^+, isso cresce sem limite, isto é,
12,x^-1/2longrightarrow +infty

Passo 4

Encontramos duas trajetórias de aproximação a (0,0) com comportamentos distintos: pelas retas o valor tende a 0, e pela curva y=x^3/2 a expressão diverge para +infty. Logo, o limite não existe.

Resposta

O limite não existe.

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