Determine o limite, se existir:
lim (x, y) longrightarrow(0,0) x-y+2 raizx-2 raizyraizx-raizy

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite:
lim (x, y) longrightarrow(0,0) x - y + 2 raizx - 2 raizyraizx - raizy
Aqui, estamos lidando com um limite de duas variáveis, ou seja, (x, y) se aproximando de (0,0). Para resolver isso, vamos usar técnicas de álgebra e propriedades de limites envolvendo radicais. Precisamos simplificar a expressão para encontrar o valor final.

Passo 2

Primeiro, vamos observar a expressão:
x - y + 2 raizx - 2 raizyraizx - raizy
Perceba que tanto o numerador quanto o denominador têm termos com raizx e raizy. Vamos tentar reescrever o numerador de uma forma que facilite a simplificação com o denominador.

Passo 3

Vamos separar o numerador em duas partes:
x - y e 2 raizx - 2 raizy
Podemos fatorar 2 na segunda parte:
2 (raizx - raizy)
Então, o numerador fica:
x - y + 2 (raizx - raizy)

Passo 4

Agora, vamos reescrever todo o limite com essa fatoração:
lim (x, y) longrightarrow(0,0) x - y + 2 (raizx - raizy)raizx - raizy
Podemos separar a fração em duas partes:
x - yraizx - raizy + 2 (raizx - raizy)raizx - raizy

Passo 5

Simplificando a segunda fração:
2 (raizx - raizy)raizx - raizy = 2
Então, o limite agora é:
lim (x, y) longrightarrow(0,0) ( x - yraizx - raizy + 2 )

Passo 6

Focando na primeira parte x - yraizx - raizy, vamos racionalizar o denominador. Isso significa multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador:
x - yraizx - raizy times raizx + raizyraizx + raizy = (x - y)(raizx + raizy)x - y

Passo 7

Observe que x - y aparece no numerador e no denominador, então podemos simplificar:
(x - y)(raizx + raizy)x - y = raizx + raizy
Portanto, o limite agora é:
lim (x, y) longrightarrow(0,0) ( raizx + raizy + 2 )

Passo 8

Agora, basta substituir x e y por 0:
raiz0 + raiz0 + 2 = 0 + 0 + 2 = 2

Resposta

O limite é igual a 2.

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