Considere a equação diferencial
t^2 y^prime prime-2 t y^prime+2 y=0
(b) Encontre a (única) solução com y(1)=3 e y^prime(1)=5.

Passo 1

O enunciado fornece a equação diferencial de Euler–Cauchy
t^2y''-2t,y'+2y=0,
com condições iniciais y(1)=3 e y'(1)=5. Para resolver, usamos o método de potências assumindo uma solução do tipo y=t^r.

Passo 2

Suponha
y=t^r
Então
y'=r,t^r-1, y''=r(r-1),t^r-2

Passo 3

Substituindo na equação:
t^2l(r(r-1)t^r-2r)-2tl(r,t^r-1r)+2,t^r =l[r(r-1)-2r+2r],t^r=0
Como t^rneq0, obtemos a equação característica
r(r-1)-2r+2=0 Longrightarrow r^2-3r+2=0

Passo 4

Resolvendo r^2-3r+2=0 temos
r=3pmraiz9-82 =3pm12,
logo r1=1 e r2=2.

Passo 5

A solução geral é
y(t)=C1,t^1+C2,t^2 =C1t + C2t^2

Passo 6

Calculamos a derivada:
y'(t)=C1+2C2,t

Passo 7

Impondo as condições iniciais em t=1:
y(1)=C1+C2=3, y'(1)=C1+2C2=5
Subtraindo a primeira da segunda:
(C1+2C2)-(C1+C2)=C2=2,
e então C1=3-C2=1.

Resposta

A solução procurada é
boxedy(t)=t+2t^2

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