(Simmons, pag 106, 4f) Encontre uma solução particular de y^prime prime+y= sec t tg t. Resposta: yp(t)=t cos t-sen t-sen t ln (cos t).

Passo 1

O enunciado pede uma solução particular da EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' + y = sec t ,tan t
Para resolver vamos usar o método de variação de parâmetros, já que o termo não-homogêneo sec t,tan t não se encaixa em coeficientes constantes simples.

Passo 2

Resolvendo a parte homogênea
y'' + y = 0
a equação característica é r^2+1=0 com raízes r=pm i. Logo a solução geral da homogênea é
yh(t)=C1cos t + C2sin t
Aqui tomamos y1(t)=cos t e y2(t)=sin t.

Passo 3

No método de variação de parâmetros definimos funções u1 e u2 tais que
yp = u1(t),y1(t) + u2(t),y2(t)
O Wronskiano de y1,y2 é
W = cos t & sin t -sin t & cos t = cos^2 t + sin^2 t = 1
As fórmulas para as derivadas são
u1' = -,y2,g(t)W e u2' = y1,g(t)W,
onde g(t)=sec t,tan t.

Passo 4

Calculemos
u1' = -,sin t;sec t,tan t = -,sin t;sin tcos^2 t = -,sin^2 tcos^2 t = -tan^2 t = -(sec^2 t - 1),
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u1 = integral u1',dt = -integral(sec^2 t - 1),dt = -tan t + t
E
u2' = cos t;sec t,tan t = cos t,sin tcos^2 t = tan t,
então
u2 = integral tan t,dt = -lnl|cos tr| approx -ln(cos t)

Passo 5

Substituindo em yp = u1cos t + u2sin t temos
yp = (-tan t + t)cos t ;-;ln(cos t),sin t = -sin t + tcos t - sin t,ln(cos t)

Resposta

yp(t) = tcos t ;-;sin t ;-;sin t,ln(cos t)

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