Verifique que duas soluções e , de certa equação linear homogênea de segunda ordem, NAO geram a solução geral se:
(b) possuem um ponto de máximo ou de mínimo em comum (ou seja, existe um que é ponto de máximo ou mínimo de , simultaneamente, também de ).
Passo 1
O enunciado considera duas soluções e de uma equação linear homogênea de segunda ordem
e pede para mostrar que elas não geram a solução geral se existirem tal que seja ponto de máximo ou mínimo simultâneo de e de . Para isso vamos usar o teste de independência linear via Wronskiano.
Passo 2
Duas soluções e geram a solução geral se, e somente se, forem linearmente independentes. O critério de independência é dado pelo Wronskiano
Se existir um t0 tal que W(t0)=0, então y1 e y2 são linearmente dependentes e não formam conjunto fundamental.
Passo 3
Por hipótese, s é ponto de máximo ou de mínimo de ambas as funções, logo