Verifique que duas soluções y1(t) e y2(t), de certa equação linear homogênea de segunda ordem, NAO geram a solução geral se:
(b) possuem um ponto de máximo ou de mínimo em comum (ou seja, existe um s que é ponto de máximo ou mínimo de y1 e, simultaneamente, também de y2 ).

Passo 1

O enunciado considera duas soluções y1(t) e y2(t) de uma equação linear homogênea de segunda ordem
y''+p(t),y'+q(t),y=0
e pede para mostrar que elas não geram a solução geral se existirem s tal que s seja ponto de máximo ou mínimo simultâneo de y1 e de y2. Para isso vamos usar o teste de independência linear via Wronskiano.

Passo 2

Duas soluções y1 e y2 geram a solução geral se, e somente se, forem linearmente independentes. O critério de independência é dado pelo Wronskiano
W(t)= y1(t) & y2(t) y1'(t) & y2'(t) = y1(t),y2'(t)-y1'(t),y2(t)
Se existir um t0 tal que W(t0)=0, então y1 e y2 são linearmente dependentes e não formam conjunto fundamental.

Passo 3

Por hipótese, s é ponto de máximo ou de mínimo de ambas as funções, logo
y1'(s)=0 e y2'(s)=0

Passo 4

Avaliação do Wronskiano em t=s:
W(s)=y1(s),y2'(s)-y1'(s),y2(s) = y1(s)cdot 0 - 0cdot y2(s) =0
Como W(s)=0, concluímos que y1 e y2 são linearmente dependentes.

Passo 5

Por serem linearmente dependentes, y1 e y2 não formam uma base do espaço de soluções da equação diferencial, ou seja, não geram a solução geral.

Resposta

As soluções não geram a solução geral, pois compartilham um ponto de extremum em s que faz o Wronskiano W(s) ser zero, implicando dependência linear.

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