Considere a equação diferencial
Verifique que
é uma solução implícita da equação. Encontre pelo menos uma solução explícita e o intervalo de definição
de cada solução
.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e sugere que a forma
é uma solução implícita. Vamos reconhecer que se trata de uma EDO separável e que, ao integrar, devemos chegar exatamente a essa forma. Em seguida, extrairemos uma solução explícita e determinaremos o intervalo de definição de cada solução.
Passo 2
Separe as variáveis e integre
Note que
. Fazendo frações parciais,
implica
Comparando coeficientes, obtém-se
e
. Logo,
Integrando ambos os lados,
Passo 3
Reescrevendo o resultado da integração:
ou seja,
Basta renomear
para absorver constantes e obter exatamente
Isso verifica a solução implícita dada.
Passo 4
Para encontrar uma solução explícita, exponencie e resolva para
. Seja
, então
Multiplicando em cruz,
Assim,
onde
é constante determinada pela condição inicial.
Passo 5
A solução explícita
é bem-definida sempre que o denominador
. Logo o intervalo de definição típico é
que se desdobra em duas classes:
Além disso há as soluções constantes (equilíbrios)
válidas para todo
.
Resposta
A família geral de soluções explícitas é
com
constante, definida em cada intervalo onde
, isto é, em
As soluções constantes são
cada uma válida em
.