Considere a equação diferencial
d Xd t=(X-1)(1-2 X)
Verifique que ln (2 X-1X-1)=t é uma solução implícita da equação. Encontre pelo menos uma solução explícita e o intervalo de definição I de cada solução phi.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
dXdt = (X-1)(1-2X)
e sugere que a forma
ln!gl(2X-1X-1gr) = t
é uma solução implícita. Vamos reconhecer que se trata de uma EDO separável e que, ao integrar, devemos chegar exatamente a essa forma. Em seguida, extrairemos uma solução explícita e determinaremos o intervalo de definição de cada solução.

Passo 2

Separe as variáveis e integre
dX(X-1)(1-2X) = dt
Note que (X-1)(1-2X) = -(X-1)(2X-1). Fazendo frações parciais,
1(X-1)(2X-1) =AX-1+B2X-1
implica
1 = A(2X-1)+B(X-1)
Comparando coeficientes, obtém-se A=1 e B=-2. Logo,
1(X-1)(1-2X) =-gl(1X-1-22X-1gr)
Integrando ambos os lados,
integral dX(X-1)(1-2X) =-integrall(1X-1-22X-1r)dX = -l[ln|X-1|-ln|2X-1|r]+C

Passo 3

Reescrevendo o resultado da integração:
-ln|X-1|+ln|2X-1| = t + C',
ou seja,
ln!gl(2X-1X-1gr)=t+C'
Basta renomear C' para absorver constantes e obter exatamente
ln!gl(2X-1X-1gr)=t
Isso verifica a solução implícita dada.

Passo 4

Para encontrar uma solução explícita, exponencie e resolva para X. Seja K=e^-C', então
2X-1X-1=Ke^t
Multiplicando em cruz,
2X-1 = Ke^t,(X-1) Longrightarrow 2X - Ke^t,X = 1 - Ke^t Longrightarrow X,(2 - Ke^t) = 1 - Ke^t
Assim,
phi(t) = 1 - Ke^t2 - Ke^t,
onde K é constante determinada pela condição inicial.

Passo 5

A solução explícita phi(t) é bem-definida sempre que o denominador 2-Ke^tneq0. Logo o intervalo de definição típico é
I = ,tinRmid Ke^tneq 2
que se desdobra em duas classes:
se K>0, então I=(-infty,ln(2/K)) ou (ln(2/K),+infty) ã
Além disso há as soluções constantes (equilíbrios)
X(t)equiv 1 e X(t)equiv tfrac12,
válidas para todo tinR.

Resposta

A família geral de soluções explícitas é
phi(t) = 1 - Ke^t2 - Ke^t,
com K constante, definida em cada intervalo onde 2-Ke^tneq0, isto é, em
I = tmid Ke^tneq2 = (-infty,ln(2/K));cup;(ln(2/K),+infty)
As soluções constantes são
phi(t)equiv1 e phi(t)equivtfrac12,
cada uma válida em I=R.

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