Verifique se a função indicada é uma solução explícita da equação diferencial dada. Admita um intervalo de definição apropriado I.
2 x y d x+(x^2+2 y) d y=0 ; x^2 y+y^2=c1

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a curva dada pela relação implícita
x^2y + y^2 = c1
é uma solução da equação diferencial
2x,y,dx + l(x^2 + 2yr),dy = 0
O conteúdo aqui é a verificação de solução implícita por diferenciação e reconversão à forma diferencial original.

Passo 2

Diferenciando implicitamente a relação
x^2y + y^2 = c1
em relação a x, temos
ddxl(x^2y + y^2r) = 0,
ou seja
2x,y + x^2dydx + 2ydydx = 0

Passo 3

Agrupando os termos que envolvem dydx, obtemos
l(x^2 + 2yr)dydx + 2x,y = 0
Multiplicando ambos os lados por dx dá exatamente
2x,y,dx + l(x^2 + 2yr),dy = 0,
que é a forma diferencial original.

Passo 4

Para que a solução seja válida, precisamos de um intervalo I onde a função y(x) seja de classe C^1 e onde x^2+2yneq0, garantindo que não dividimos por zero ao isolar dydx.

Resposta

Sim. A curva definida por x^2 y + y^2 = c1 satisfaz a equação diferencial
2 x y , dx + l(x^2 + 2 yr) , dy = 0
em qualquer intervalo onde x^2 + 2 y neq 0.

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