Prove que a relação dada é uma solução implícita da equação diferencial fornecida.
x^2+y^2=6 ; y^prime=-xy

Passo 1

O enunciado fornece a relação implícita
x^2+y^2=6
e a equação diferencial
y'=-xy
Para mostrar que essa curva é solução implícita da equação, vamos diferenciar x^2+y^2=6 em relação a x e verificar se surge exatamente y'=-tfracxy.

Passo 2

Diferenciando ambos os lados de x^2+y^2=6 em relação a x, obtemos
ddxl(x^2+y^2r)=ddx(6)
No lado esquerdo, aplicamos a regra da soma e a regra da cadeia em y^2:
2x + 2y,dydx=0

Passo 3

Isolando dydx na equação
2x + 2y,dydx=0,
temos
2y,dydx=-2x Longrightarrow dydx=-xy

Passo 4

O valor de dydx obtido coincide exatamente com a derivada dada y'=-tfracxy. Logo, a relação x^2+y^2=6 satisfaz a equação diferencial e é, de fato, sua solução implícita.

Resposta

A diferenciação implícita de x^2+y^2=6 conduz a
dydx=-xy,
mostrando que essa curva é solução implícita da equação diferencial dada.

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