Resolva as equações:
x y^prime-4 y=-2x^2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial x y^prime - 4 y = -2x^2. Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar entender um pouco sobre equações lineares e o método do fator integrante.

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem, que é:
y^prime + P(x) y = Q(x)
Para isso, vamos dividir toda a equação original por x:
y^prime - 4x y = -2x^3
Aqui, identificamos que P(x) = -4x e Q(x) = -2x^3.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o fator integrante, que é uma função que vai nos ajudar a simplificar a equação. O fator integrante mu(x) é dado por:
mu(x) = e^integral P(x) , dx
Substituindo P(x) = -4x:
mu(x) = e^integral -4x , dx = e^-4 ln|x| = |x|^-4
Como x é positivo, podemos simplificar para:
mu(x) = x^-4

Passo 4

Multiplicamos toda a equação padrão pelo fator integrante mu(x):
x^-4 y^prime - 4x x^-4 y = -2x^3 x^-4
Simplificando os termos:
x^-4 y^prime - 4x^-5 y = -2x^-7

Passo 5

A equação agora pode ser escrita como a derivada do produto de mu(x) e y:
ddx (x^-4 y) = -2x^-7
Isso é possível porque o lado esquerdo da equação corresponde exatamente à derivada do produto mu(x) y.

Passo 6

Integrando ambos os lados em relação a x:
integral ddx (x^-4 y) , dx = integral -2x^-7 , dx
Isso resulta em:
x^-4 y = 26 x^-6 + C
Simplificando:
x^-4 y = 13 x^-6 + C

Passo 7

Isolando y para encontrar a solução geral:
y = x^4 ( 13 x^-6 + C ) = 13 x^-2 + C x^4

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y(x) = 13,x^2 + C,x^4
Onde C é a constante de integração.

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