Resolva as equações:
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial
. Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar entender um pouco sobre equações lineares e o método do fator integrante.
Passo 2
Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem, que é:
Para isso, vamos dividir toda a equação original por
:
Aqui, identificamos que
e
.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o fator integrante, que é uma função que vai nos ajudar a simplificar a equação. O fator integrante
é dado por:
Substituindo
:
Como
é positivo, podemos simplificar para:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação padrão pelo fator integrante
:
Simplificando os termos:
Passo 5
A equação agora pode ser escrita como a derivada do produto de
e
:
Isso é possível porque o lado esquerdo da equação corresponde exatamente à derivada do produto
.
Passo 6
Integrando ambos os lados em relação a
:
Isso resulta em:
Simplificando:
Passo 7
Isolando
para encontrar a solução geral:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
é a constante de integração.