Considere a equação diferencial d yd x=e^-x^2.
Determine um intervalo no qual a solução y=phi(x) tem concavidade para baixo e um intervalo no qual a curva tem concavidade para cima.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial y'=e^-x^2 e pede os intervalos onde a solução y=phi(x) é côncava para cima e para baixo. Para isso, vamos precisar calcular a segunda derivada y'' e analisar o seu sinal.

Passo 2

Primeiro derivamos y'=e^-x^2 em relação a x. Usamos a regra da cadeia: uma derivada de e^u(x) é e^u(x)u'(x). Aqui u(x)=-x^2 e u'(x)=-2x. Assim, em bloco:
y''=ddxe^-x^2=e^-x^2cdot(-2x)=-2x,e^-x^2
Como e^-x^2>0 para todo x, o sinal de y'' é o mesmo de -2x, ou seja, é negativo quando x>0 e positivo quando x<0.

Passo 3

Segundo o teste de concavidade, se y''>0 a curva é côncava para cima, e se y''<0 é côncava para baixo. Daí concluímos os intervalos correspondentes.

Resposta

A curva é côncava para cima em (-infty,0) e côncava para baixo em (0,+infty).

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