Considere a equação diferencial dada por:
\frac{d y}{d x}=2 x-3 y+1
Sabendo que y(1)=5
a) Use o Método de Euler com passo de \mathrm{h}=0,1 para calcular \mathrm{y}(1,2).
b) Sabendo que a solução analítica é dada por:
y(x)=\frac{1}{9}+\frac{2}{3} x+\frac{38}{9} e^{-3(x-1)}

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial e a condição inicial abaixo e pede dois cálculos em x=1{,}2:
\frac{dy}{dx}=2x-3y+1
Condição inicial: y(1)=5.
a) Usar o Método de Euler com passo h=0{,}1 para calcular y(1{,}2).
b) Foi fornecida a solução analítica
y(x)=\frac{1}{9}+\frac{2}{3}x+\frac{38}{9}e^{-3(x-1)},
então calcular y(1{,}2) usando essa expressão (para comparar com o resultado do Método de Euler).

Passo 2

Vou explicar o Método de Euler de forma bem didática, passo a passo, antes de aplicar. O Método de Euler aproxima a solução de uma EDO inicial valor por pequenas retas sucessivas. Seja a EDO
\frac{dy}{dx}=f(x,y),
com condição inicial y(x_0)=y_0 e passo h. Então a iteração explícita de Euler é
y_{n+1}=y_n+h\,f(x_n,y_n).
Aqui:
  • x_n é o ponto atual em x;
  • y_n é a aproximação para y(x_n);
  • f(x_n,y_n) é a inclinação (derivada) no ponto (x_n,y_n);
  • h é o tamanho do passo (quanto avançamos em x).
Para o nosso problema temos f(x,y)=2x-3y+1, x_0=1, y_0=5 e h=0{,}1. Queremos y em x=1{,}2. Os pontos em x são:
x_0=1{,}\quad x_1=1{,}1{,}\quad x_2=1{,}2,
ou seja, serão duas iterações de Euler (de x_0 para x_1 e de x_1 para x_2).

Passo 3

Primeira iteração (de x_0=1 para x_1=1{,}1):
Calcule f(x_0,y_0)=f(1,5):
f(1,5)=2\cdot 1-3\cdot 5+1=2-15+1=-12.
Aplicando Euler:
y_1 = y_0 + h\,f(1,5)=5 + 0{,}1\cdot(-12)=5-1{,}2=3{,}8.
Interpretação: partimos de y(1)=5 e, usando a inclinação -12 naquele ponto, avançamos 0{,}1 em x e caímos 1{,}2 em y, chegando a y(1{,}1)\approx 3{,}8.

Passo 4

Segunda iteração (de x_1=1{,}1 para x_2=1{,}2):
Calcule f(x_1,y_1)=f(1{,}1,3{,}8):
f(1{,}1,3{,}8)=2\cdot 1{,}1 - 3\cdot 3{,}8 + 1 = 2{,}2 - 11{,}4 + 1 = -8{,}2.
Aplicando Euler:
y_2 = y_1 + h\,f(1{,}1,3{,}8)=3{,}8 + 0{,}1\cdot(-8{,}2)=3{,}8 - 0{,}82 = 2{,}98.
Portanto, a aproximação por Euler para y(1{,}2) com h=0{,}1 é y(1{,}2)\approx 2{,}98.

Passo 5

Comentário pedagógico sobre o resultado de Euler: o Método de Euler é simples e rápido, mas é apenas de primeira ordem (o erro global típico é proporcional a h). Isso significa que, com h=0{,}1, a aproximação pode ficar com um erro razoável; reduzir h (por exemplo para 0{,}05 ou 0{,}01) melhora a precisão, mas exige mais iterações. Agora vamos calcular o valor exato usando a solução analítica dada para comparar.

Passo 6

Cálculo da solução analítica em x=1{,}2. Substituímos x=1{,}2 em
y(x)=\frac{1}{9}+\frac{2}{3}x+\frac{38}{9}e^{-3(x-1)}.
Primeiro calcule o expoente:
-3(x-1)=-3(1{,}2-1)=-3(0{,}2)=-0{,}6.
Então precisamos de e^{-0{,}6}. Usando o valor conhecido (aproximação):
e^{-0{,}6}\approx 0{,}5488116361.
Agora calcule cada termo:
\frac{1}{9}\approx 0{,}1111111111,
\frac{2}{3}\cdot 1{,}2 = \frac{2}{3}\cdot\frac{12}{10} = \frac{24}{30} = 0{,}8,
\frac{38}{9}\,e^{-0{,}6}=\frac{38}{9}\cdot 0{,}5488116361 \approx 2{,}3172046857.
Somando os termos:
y(1{,}2)\approx 0{,}1111111111 + 0{,}8 + 2{,}3172046857 \approx 3{,}2283157968.
Arredondando razoavelmente: y(1{,}2)\approx 3{,}228316.

Passo 7

Comparação e erro da aproximação de Euler:
A aproximação por Euler deu y(1{,}2)\approx 2{,}98 e a solução analítica dá y(1{,}2)\approx 3{,}228316. A diferença (erro absoluto) é
\text{erro}\approx 3{,}228316 - 2{,}98 = 0{,}248316.
Isso confirma que, com h=0{,}1, o Método de Euler fez uma aproximação com erro da ordem de 2{,}5\times 10^{-1}. Se quiser melhorar a precisão na prova, reduza h ou use um método de ordem maior (por exemplo Runge–Kutta de ordem 4).

Resposta

a) y(1{,}2)\approx 2{,}98
b) y(1{,}2)\approx 3{,}228316

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