Considere a equação diferencial dada por:
Sabendo que
a) Use o Método de Euler com passo de
para calcular
.
b) Sabendo que a solução analítica é dada por:
a) Use o Método de Euler com passo de
b) Sabendo que a solução analítica é dada por:
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial e a condição inicial abaixo e pede dois cálculos em
:
Condição inicial:
.
a) Usar o Método de Euler com passo
para calcular
.
b) Foi fornecida a solução analítica
então calcular
usando essa expressão (para comparar com o resultado do Método de Euler).
Passo 2
Vou explicar o Método de Euler de forma bem didática, passo a passo, antes de aplicar. O Método de Euler aproxima a solução de uma EDO inicial valor por pequenas retas sucessivas. Seja a EDO
com condição inicial
e passo
. Então a iteração explícita de Euler é
Aqui:
-
é o ponto atual em ; -
é a aproximação para ; -
é a inclinação (derivada) no ponto ; -
é o tamanho do passo (quanto avançamos em ).
Para o nosso problema temos
,
,
e
. Queremos
em
. Os pontos em
são:
ou seja, serão duas iterações de Euler (de
para
e de
para
).
Passo 3
Primeira iteração (de
para
):
Calcule
:
Aplicando Euler:
Interpretação: partimos de
e, usando a inclinação
naquele ponto, avançamos
em
e caímos
em
, chegando a
.
Passo 4
Segunda iteração (de
para
):
Calcule
:
Aplicando Euler:
Portanto, a aproximação por Euler para
com
é
.
Passo 5
Comentário pedagógico sobre o resultado de Euler: o Método de Euler é simples e rápido, mas é apenas de primeira ordem (o erro global típico é proporcional a
). Isso significa que, com
, a aproximação pode ficar com um erro razoável; reduzir
(por exemplo para
ou
) melhora a precisão, mas exige mais iterações. Agora vamos calcular o valor exato usando a solução analítica dada para comparar.
Passo 6
Cálculo da solução analítica em
. Substituímos
em
Primeiro calcule o expoente:
Então precisamos de
. Usando o valor conhecido (aproximação):
Agora calcule cada termo:
Somando os termos:
Arredondando razoavelmente:
.
Passo 7
Comparação e erro da aproximação de Euler:
A aproximação por Euler deu
e a solução analítica dá
. A diferença (erro absoluto) é
Isso confirma que, com
, o Método de Euler fez uma aproximação com erro da ordem de
. Se quiser melhorar a precisão na prova, reduza
ou use um método de ordem maior (por exemplo Runge–Kutta de ordem 4).
Resposta
a)
b)