Uma esfera possui temperatura de 1200 K (ou
) e começa a resfriar 'a temperatura ambiente de
ou
. Assumindo que o calor é dissipado sem interferência, a equação diferencial que reflete a temperatura
da esfera no tempo t deve satisfazer a seguinte EDO.
Encontrar a temperatura em
segundos usando o método de Euler, Heun e Rk de
ordem. Assuma um passo de tamanho
segundos.
Encontrar a temperatura em
Passo 1
O enunciado pede que eu calcule a temperatura da esfera
em
s, partindo de
, resolvendo a EDO numericamente com passo
s usando três métodos: Euler explícito, Heun (método do trapézio explícito / improved Euler) e Runge–Kutta de 4ª ordem. \n
As informações dadas e que vamos usar explicitamente: \n
\n
, \quad passo
. \n
Vamos avançar em duas iterações: de para
e de
para
. A resposta final solicitada é
para cada método.
As informações dadas e que vamos usar explicitamente: \n
Vamos avançar em duas iterações: de
Passo 2
Comentário rápido sobre
(útil na prova): \n
significa
multiplicada por ela mesma 4 vezes;
(é
, o que confirma que
, temperatura ambiente). \n
Sempre que eu escrever significa
. \n
Vou calcular passo-a-passo cada método. Em cada etapa mostro os (as inclinações) e os valores intermediários.
Sempre que eu escrever
Vou calcular passo-a-passo cada método. Em cada etapa mostro os
Passo 3
Fórmula do método de Euler explícito (passo
):
Vou aplicar essa fórmula duas vezes (de
para
e de
para
).
Passo 4
Calcular
com
:
Aplicando Euler com
:
Passo 5
Calculamos
com
:
Aplicando Euler:
Resultado Euler:
Passo 6
Heun (método do trapézio explícito) usa predictor-corrector:
Vou aplicar duas iterações com
.
Passo 7
Já temos
(do passo Euler). Predictor:
Calculamos
— já calculado no Euler:
.
Passo 8
Agora
com
. Calculamos:
Predictor:
Calculamos
com
:
Heun corrige:
Resultado Heun:
Passo 9
Runge–Kutta de 4ª ordem (passo
):
Vou aplicar duas iterações.
Passo 10
Dados iniciais:
. Já temos
. \n
Calculei
, daí
Em seguida
, daí
Em seguida
, daí
Agora combine:
Passo 11
Agora partindo de
: \n
Calculei . \n
\n
\n
\n
Calculei
Combine para obter
:
Resultado RK4:
Resposta
Euler:
Heun:
Runge–Kutta 4ª ordem:
Heun:
Runge–Kutta 4ª ordem: