Uma esfera possui temperatura de 1200 K (ou 920^{\circ} \mathrm{C} ) e começa a resfriar 'a temperatura ambiente de 300 \mathrm{~K}\left(\right. ou \left.27^{\circ} \mathrm{C}\right). Assumindo que o calor é dissipado sem interferência, a equação diferencial que reflete a temperatura \theta(t) da esfera no tempo t deve satisfazer a seguinte EDO.
\frac{d \theta}{d t}=-2.2067 \times 10^{-12}\left(\theta^{4}-81 \times 10^{8}\right), \quad \theta(0)=1200 K
Encontrar a temperatura em \mathrm{t}=480 segundos usando o método de Euler, Heun e Rk de 4^{\circ} ordem. Assuma um passo de tamanho \mathrm{h}=240 segundos.

Passo 1

O enunciado pede que eu calcule a temperatura da esfera \theta(t) em t=480 s, partindo de \theta(0)=1200\\ \mathrm{K}, resolvendo a EDO numericamente com passo h=240 s usando três métodos: Euler explícito, Heun (método do trapézio explícito / improved Euler) e Runge–Kutta de 4ª ordem. \n
As informações dadas e que vamos usar explicitamente: \n
\displaystyle \frac{d\theta}{dt}=f(\theta)=-2,2067\times10^{-12}\big(\theta^{4}-81\times10^{8}\big) \n
\theta(0)=1200\\ \mathrm{K}, \quad passo h=240\\ \mathrm{s}. \n
Vamos avançar em duas iterações: de t_{0}=0 para t_{1}=240 e de t_{1}=240 para t_{2}=480. A resposta final solicitada é \theta(480) para cada método.

Passo 2

Comentário rápido sobre f(\theta) (útil na prova): \n
\theta^{4} significa \theta multiplicada por ela mesma 4 vezes; 81\times10^{8}=8,1\times10^{9} \,300^{4}, o que confirma que f(300)=0, temperatura ambiente). \n
Sempre que eu escrever f(\theta) significa \displaystyle f(\theta)=-2,2067\times10^{-12}\big(\theta^{4}-8,1\times10^{9}\big). \n
Vou calcular passo-a-passo cada método. Em cada etapa mostro os k (as inclinações) e os valores intermediários.

Passo 3

Fórmula do método de Euler explícito (passo h): \theta_{n+1}=\theta_{n}+h\,f(\theta_{n}).
Vou aplicar essa fórmula duas vezes (de n=0 para 1 e de 1 para 2).

Passo 4

Calcular f(\theta_{0}) com \theta_{0}=1200: \theta_{0}^{4}=(1200)^{4}=(1{,}2\times10^{3})^{4}=2{,}0736\times10^{12}.
f(\theta_{0})=-2{,}2067\times10^{-12}\big(2{,}0736\times10^{12}-8{,}1\times10^{9}\big) =-2{,}2067\times10^{-12}\big(2{,}0655\times10^{12}\big).
f(\theta_{0})\approx-4{,}55793885\\ \mathrm{K/s}.
Aplicando Euler com h=240: \theta_{1}=\theta_{0}+240\cdot f(\theta_{0}) =1200+240\cdot(-4{,}55793885)\approx1200-1093{,}905324\approx106{,}094676\\ \mathrm{K}.

Passo 5

Calculamos f(\theta_{1}) com \theta_{1}\approx106{,}094676: \theta_{1}^{4}\approx(106{,}094676)^{4}\approx1{,}26246896\times10^{8}.
f(\theta_{1})=-2{,}2067\times10^{-12}\big(1{,}26246896\times10^{8}-8{,}1\times10^{9}\big) =-2{,}2067\times10^{-12}\big(-7{,}973753104\times10^{9}\big).
f(\theta_{1})\approx+0{,}017595708\\ \mathrm{K/s}.
Aplicando Euler: \theta_{2}=\theta_{1}+240\cdot f(\theta_{1}) \approx106{,}094676+240\cdot0{,}017595708\approx106{,}094676+4{,}223\approx110{,}317676\\ \mathrm{K}.
Resultado Euler: \theta(480)\approx110{,}3177\\ \mathrm{K}.

Passo 6

Heun (método do trapézio explícito) usa predictor-corrector: k_{1}=f(\theta_{n}),\qquad \theta^{\text{pred}}=\theta_{n}+h\,k_{1},
k_{2}=f(\theta^{\text{pred}}),\qquad \theta_{n+1}=\theta_{n}+\frac{h}{2}(k_{1}+k_{2}).
Vou aplicar duas iterações com h=240.

Passo 7

Já temos k_{1}=f(\theta_{0})\approx-4{,}55793885 (do passo Euler). Predictor: \theta^{\text{pred}}_{0}=\theta_{0}+240\cdot(-4{,}55793885)\approx106{,}094676\\ \mathrm{K}.
Calculamos k_{2}=f(\theta^{\text{pred}}_{0}) — já calculado no Euler: k_{2}\approx0{,}017595708\\ \mathrm{K/s}. \theta_{1}=\theta_{0}+\frac{240}{2}\big(k_{1}+k_{2}\big)=1200+120(-4{,}55793885+0{,}017595708)
\theta_{1}\approx1200+120(-4{,}540343142)\approx1200-544{,}84117699\approx655{,}158823\\ \mathrm{K}.

Passo 8

Agora k_{1}=f(\theta_{1}) com \theta_{1}\approx655{,}158823. Calculamos: \theta_{1}^{4}\approx1{,}8424098\times10^{11}\quad\Rightarrow\quad k_{1}=-2{,}2067\times10^{-12}\big(1{,}8424098\times10^{11}-8{,}1\times10^{9}\big)
k_{1}\approx-0{,}38869034\\ \mathrm{K/s}.
Predictor: \theta^{\text{pred}}_{1}=\theta_{1}+240\cdot k_{1}\approx655{,}158823+240(-0{,}38869034)\approx561{,}873141.
Calculamos k_{2}=f(\theta^{\text{pred}}_{1}) com \theta^{\text{pred}}_{1}\approx561{,}873141: \theta^{4}\approx9{,}9669\times10^{10}\quad\Rightarrow\quad k_{2}\approx-0{,}202065\\ \mathrm{K/s}.
Heun corrige: \theta_{2}=\theta_{1}+\frac{240}{2}(k_{1}+k_{2}) =655{,}158823+120(-0{,}38869034-0{,}202065)
\theta_{2}\approx655{,}158823+120(-0{,}59075534)\approx655{,}158823-70{,}8906408\approx584{,}268182\\ \mathrm{K}.
Resultado Heun: \theta(480)\approx584{,}2682\\ \mathrm{K}.

Passo 9

Runge–Kutta de 4ª ordem (passo h): k_{1}=f(\theta_{n}),\quad k_{2}=f\big(\theta_{n}+\tfrac{h}{2}k_{1}\big),\quad k_{3}=f\big(\theta_{n}+\tfrac{h}{2}k_{2}\big),
k_{4}=f\big(\theta_{n}+h\,k_{3}\big),\qquad \theta_{n+1}=\theta_{n}+\frac{h}{6}(k_{1}+2k_{2}+2k_{3}+k_{4}).
Vou aplicar duas iterações.

Passo 10

Dados iniciais: \theta_{0}=1200. Já temos k_{1}=f(\theta_{0})\approx-4{,}55793885. \n
Calculei \theta_{0}+\tfrac{h}{2}k_{1}=1200+120(-4{,}55793885)\approx653{,}047338, daí k_{2}=f(653{,}047338)\approx-0{,}383298\\ \mathrm{K/s}.
Em seguida \theta_{0}+\tfrac{h}{2}k_{2}=1200+120(-0{,}383298)\approx1154{,}00424, daí k_{3}=f(1154{,}00424)\approx-3{,}895687\\ \mathrm{K/s}.
Em seguida \theta_{0}+h\,k_{3}=1200+240(-3{,}895687)\approx265{,}03512, daí k_{4}=f(265{,}03512)\approx0{,}006986\\ \mathrm{K/s}.
Agora combine: \theta_{1}=1200+\frac{240}{6}\big(k_{1}+2k_{2}+2k_{3}+k_{4}\big).
k_{1}+2k_{2}+2k_{3}+k_{4}\approx-4{,}55793885+2(-0{,}383298)+2(-3{,}895687)+0{,}006986\approx-13{,}10892285.
\theta_{1}=1200+40\cdot(-13{,}10892285)\approx1200-524{,}356914\approx675{,}643086\\ \mathrm{K}.

Passo 11

Agora partindo de \theta_{1}\approx675{,}643086: \n
Calculei k_{1}=f(675{,}643086)\approx-0{,}442002. \n
\theta_{1}+\tfrac{h}{2}k_{1}=675{,}643086+120(-0{,}442002)\approx622{,}602846\Rightarrow k_{2}=f(622{,}602846)\approx-0{,}313637. \n
\theta_{1}+\tfrac{h}{2}k_{2}=675{,}643086+120(-0{,}313637)\approx638{,}006646\Rightarrow k_{3}=f(638{,}006646)\approx-0{,}347749. \n
\theta_{1}+h\,k_{3}=675{,}643086+240(-0{,}347749)\approx592{,}183326\Rightarrow k_{4}=f(592{,}183326)\approx-0{,}2534395. \n
Combine para obter \theta_{2}: \theta_{2}=675{,}643086+\frac{240}{6}\big(k_{1}+2k_{2}+2k_{3}+k_{4}\big).
k_{1}+2k_{2}+2k_{3}+k_{4}\approx-0{,}442002+2(-0{,}313637)+2(-0{,}347749)-0{,}2534395\approx-2{,}0182135.
\theta_{2}=675{,}643086+40\cdot(-2{,}0182135)\approx675{,}643086-80{,}72854\approx594{,}914546\\ \mathrm{K}.
Resultado RK4: \theta(480)\approx594{,}9145\\ \mathrm{K}.

Resposta

Euler: 110{,}3177\\ \mathrm{K}
Heun: 584{,}2682\\ \mathrm{K}
Runge–Kutta 4ª ordem: 594{,}9145\\ \mathrm{K}

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