Considere a equação diferencial dada por:
Resolva.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial de Euler não-homogênea
O conteúdo é equação de Cauchy–Euler: primeiro dividimos por
para pôr na forma
depois achamos a solução geral da homogênea e, em seguida, um particular por variação de constantes.
Passo 2
Resolvendo a homogênea
fazemos
. Substituindo-se obtém-se a equação característica
cuja raízes são
e
. Logo a solução homogênea é
Passo 3
Para a solução particular usamos variação de constantes com
e
. A forma padrão é
onde
. O Wronskiano é
As fórmulas são
Passo 4
Integramos para obter
e
:
Então a solução particular é
Passo 5
A solução geral da equação original é a soma da homogênea com o particular: