Considere a equação diferencial dada por:
x^{2} y^{\prime \prime}-2 x \cdot y^{\prime}+2 y=x^{3} \cos (x)
Resolva.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de Euler não-homogênea
x^{2}y''-2x\,y'+2y = x^{3}\cos(x).
O conteúdo é equação de Cauchy–Euler: primeiro dividimos por x^{2} para pôr na forma
y'' - \frac{2}{x}y' + \frac{2}{x^{2}}y = x\cos(x),
depois achamos a solução geral da homogênea e, em seguida, um particular por variação de constantes.

Passo 2

Resolvendo a homogênea
y'' - \frac{2}{x}y' + \frac{2}{x^{2}}y = 0
fazemos y=x^{m}. Substituindo-se obtém-se a equação característica
m(m-1)-2m+2 = m^{2}-3m+2 = 0,
cuja raízes são m=1 e m=2. Logo a solução homogênea é
y_{h} = C_{1}\,x + C_{2}\,x^{2}.

Passo 3

Para a solução particular usamos variação de constantes com y_{1}=x e y_{2}=x^{2}. A forma padrão é
y'' - \frac{2}{x}y' + \frac{2}{x^{2}}y = g(x),
onde g(x)=x\cos(x). O Wronskiano é
W = \begin{vmatrix}x & x^{2}\\\ 1 & 2x\end{vmatrix} = x\cdot2x - 1\cdot x^{2} = x^{2}.
As fórmulas são
u_{1}' = -\frac{y_{2}\,g(x)}{W} = -\frac{x^{2}\cdot x\cos(x)}{x^{2}} = -x\cos(x),
u_{2}' = \frac{y_{1}\,g(x)}{W} = \frac{x\cdot x\cos(x)}{x^{2}} = \cos(x).

Passo 4

Integramos para obter u_{1} e u_{2}:
u_{1} = -\int x\cos(x)\,dx = -\bigl(x\sin(x)+\cos(x)\bigr),
u_{2} = \int \cos(x)\,dx = \sin(x).
Então a solução particular é
y_{p} = u_{1}\,y_{1} + u_{2}\,y_{2} = \bigl(-x\sin(x)-\cos(x)\bigr)\,x + \sin(x)\,x^{2} = -x\cos(x).

Passo 5

A solução geral da equação original é a soma da homogênea com o particular:
y(x) = C_{1}\,x + C_{2}\,x^{2} \;-\; x\cos(x).

Resposta

y(x) = C_{1}\,x + C_{2}\,x^{2} - x\cos(x).

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