Considere a equação diferencial dada por:
y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}-3 y=0
Sabendo que y(0)=2 e y^{\prime}(0)=14. Resolva.

Passo 1

O enunciado nos dá a EDO \,y'' - 2y' - 3y = 0 com condições iniciais \,y(0)=2, \,y'(0)=14. Trata-se de uma EDO linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, usamos o método do polinômio característico.

Passo 2

Formamos o polinômio característico
r^2 - 2r - 3 = 0.
Resolvendo, obtemos as raízes r = 3 e r = -1. Logo, a solução geral é
y(x) = C_1 e^{3x} + C_2 e^{-x}.

Passo 3

Derivando a solução geral, temos
y'(x) = 3C_1 e^{3x} - C_2 e^{-x}.
Aplicando as condições iniciais em x=0:
y(0) = C_1 + C_2 = 2,
y'(0) = 3C_1 - C_2 = 14.

Passo 4

Resolvendo o sistema
\begin{cases} C_1 + C_2 = 2,\\\\ 3C_1 - C_2 = 14, \end{cases}
somando as duas equações, obtemos 4C_1 = 16, logo C_1 = 4. Substituindo em C_1 + C_2 = 2 C_2 = -2.

Resposta

A solução com as condições iniciais é
y(x) = 4e^{3x} - 2e^{-x}.

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