A deflexão de uma viga, com extremidades apoiadas, sujeita a uma carga uniforme é dado pelo seguinte problema de contorno:
\frac{d^{2} w}{d x^{2}}=\frac{S}{E I_{m}} w+\frac{q x}{2 E I_{m}}(x-L)
0<x<1
Suponha que se trate de uma viga de aço W10 com as seguintes características: comprimento L=120 pol., intensidade da carga q=10 \mathrm{lb} / pé, módulo de elasticidade E=4,0.10^{7} \mathrm{lb} / ^{2}, tensão nas extremidades S=1000 lb e momento central I_{m}=625 \mathrm{pol}^{4}. Encontre a deformação \mathrm{w}(\mathrm{x}) no centro da viga.

Passo 1

O enunciado nos dá a equação de deflexão de uma viga simplesmente apoiada, sob carga distribuída e com esforço de tração/compressão S, a saber
\frac{d^{2}w}{dx^{2}} \;=\;\frac{S}{E\,I_{m}}\,w \;+\;\frac{q\,x}{2\,E\,I_{m}}\,(x-L),
com 0<x<L. Precisamos encontrar a deflexão w\bigl(L/2\bigr) no meio da viga, usando os dados:
L =120 pol.,
q=10 lb/pé,
E=4{,}0\times10^{7} lb/pé ^{2},
S=1000 lb,
I_{m}=625 po l^{4}.

Passo 2

Fazemos todas as grandezas em pés e pé s^{4} para usar E em lb/pé ^{2}.
L=120\text{ pol}=\frac{120}{12}\text{ ft}=10\text{ ft},
I_{m}=625\text{ pol}^4\;=\;\frac{625}{12^4}\,\text{ft}^4 \;=\;0{,}03014\text{ ft}^4,
q=10\text{ lb/pé},\quad E=4{,}0\times10^{7}\text{ lb/pé}^2.éé
Logo
E\,I_{m} =4{,}0\times10^{7}\times0{,}03014 =1{,}2056\times10^{6}\;\text{lb\cdotpé}^2.é

Passo 3

Calculamos o parâmetro
k^2=\frac{S}{E\,I_{m}} =\frac{1000}{1{,}2056\times10^{6}} =8{,}294\times10^{-4}\quad\Rightarrow\quad k=0{,}0288\;\text{pé}^{-1},é
e o esforço de flambagem crítica
P_{\rm cr} =\frac{\pi^2\,E\,I_{m}}{L^2} =\frac{\pi^2\times1{,}2056\times10^{6}}{10^2} \approx1{,}1907\times10^5\;\text{lb}.

Passo 4

Para vigas simplesmente apoiadas e esforço axial S\ll P_{\rm cr}, a deflexão máxima (no meio) sob carga uniforme é aproximadamente
w_{\max} =\frac{5\,q\,L^4}{384\,E\,I_{m}} \;\times\; \frac{1}{1-\dfrac{S}{P_{\rm cr}}}.
O fator \bigl(1-S/P_{\rm cr}\bigr)^{-1} corrige o efeito do esforço axial.

Passo 5

Calculamos primeiro sem axial:
w_0 =\frac{5\times10\times10^4}{384\times1{,}2056\times10^6} =\frac{500\,000}{462{,}75\times10^6} =1{,}080\times10^{-3}\text{ pé}.é
Convertendo para polegadas:
w_0=1{,}080\times10^{-3}\times12 =0{,}01296\text{ pol.}
O fator de correção é
\frac{1}{1-S/P_{\rm cr}} =\frac{1}{1-1000/1{,}1907\times10^5} \approx1{,}0085.
Então
w\bigl(L/2\bigr) =w_0\times1{,}0085 \approx0{,}01307\text{ pol.}

Resposta

A deflexão no meio da viga é aproximadamente
w\bigl(L/2\bigr)\approx0{,}0131\text{ pol.}

Exercícios relacionados