Questão 3. Encontre a reta tangente a função f(x)=x^{2} \cdot \ln (x) no ponto (1, f(1)).

Passo 1

O enunciado pede a reta tangente à função f(x)=x^{2}\ln(x) no ponto em que x=1. Vamos usar o derivado de f (regra do produto e derivada de \ln(x)) para obter o coeficiente angular e depois aplicar a forma ponto-reta da reta tangente.

Passo 2

Calculamos o valor de f em x=1:
f(1)=1^{2}\ln(1)=1\cdot0=0.
Portanto o ponto é \bigl(1,0\bigr).

Passo 3

Derivamos f(x)=x^{2}\ln(x) usando a regra do produto:
f'(x)=\frac{d}{dx}(x^{2})\ln(x)+x^{2}\,\frac{d}{dx}\bigl(\ln(x)\bigr) =2x\ln(x)+x^{2}\cdot\frac{1}{x} =2x\ln(x)+x.

Passo 4

Avaliamos f' em x=1:
f'(1)=2\cdot1\cdot\ln(1)+1=0+1=1.
Logo o coeficiente angular da tangente é m=1.

Passo 5

Usando a forma ponto-reta y - y_{0}=m(x-x_{0}) com (x_{0},y_{0})=(1,0) e m=1:
y-0=1\,(x-1) \quad\Longrightarrow\quad y=x-1.

Resposta

y = x - 1

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