Resolva:
y^{\prime \prime}-5 y^{\prime}+6 y=2 \mathrm{e}^{3}

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' - 5y' + 6y = 2e^{3}
Aqui o conteúdo envolve achar a solução geral combinando a solução homogênea com uma solução particular.

Passo 2

A equação homogênea associada é
y'' - 5y' + 6y = 0
e sua equação característica é
r^2 - 5r + 6 = 0
Resolvendo, obtemos as raízes r = 2 e r = 3. Logo a solução homogênea é
y_h(x) = C_1 e^{2x} + C_2 e^{3x}

Passo 3

Como o termo não homogêneo 2e^{3} é constante, tentamos uma solução particular constante y_p = A. Substituindo em y'' - 5y' + 6y = 2e^{3} resulta
6A = 2e^{3}
Logo
A = \frac{e^3}{3}
e
y_p = \frac{e^3}{3}

Passo 4

A solução geral da equação diferencial é a soma de y_h com y_p, ou seja
y(x) = C_1 e^{2x} + C_2 e^{3x} + \frac{e^3}{3}

Resposta

y(x) = C_1 e^{2x} + C_2 e^{3x} + \frac{e^3}{3}

Exercícios relacionados