Considere a equação diferencial x+(x^2 y+4 y) d yd x=0
Encontre uma fator de integração mu(y) para a equação, de forma a transformá-la numa equação exata.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
x + l(x^2y + 4yr)dydx = 0
e pede um fator de integração mu que dependa apenas de y de modo que, multiplicando a equação por mu(y), ela se torne exata. Vamos usar a teoria de fatores de integração para equações da forma
M(x,y),dx + N(x,y),dy = 0

Passo 2

Reescrevendo em forma padrão, temos
M(x,y) = x, N(x,y) = x^2y + 4y
Calculamos as derivadas parciais
partial Mpartial y = 0, partial Npartial x = 2xy

Passo 3

Para achar um fator de integração que dependa só de y, usamos a condição
1mu(y)dmudy =tfracpartial Npartial x-tfracpartial Mpartial yM =2xy-0x =2y,
que é de fato função apenas de y.

Passo 4

Integramos em relação a y:
1mudmudy=2y Longrightarrow integraldmumu=integral 2y,dy Longrightarrow lnmu = y^2+C
Assim,
mu(y)=e^y^2+C=e^Ce^y^2
Como constantes multiplicativas podem ser desprezadas no fator de integração, tomamos
mu(y)=e^y^2

Resposta

mu(y)=e^y^2

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